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高中数学课程标准实验教科书人教A版选修2-3第二章第二节选修2-3-2.3.1《条件概率》苏州中学

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视频课题:高中数学课程标准实验教科书人教A版选修2-3第二章第二节选修2-3-2.3.1《条件概率》苏州中学

教学设计、课堂实录及教案:高中数学课程标准实验教科书人教A版选修2-3第二章第二节选修2-3-2.3.1 条件概率-苏州中学


1教学目标
1.通过对具体情境的分析,了解条件概率的定义;
2.会根据条件概率的定义判断一个概率问题是否是条件概率;
3.掌握一些简单的条件概率问题的计算.
2学情分析
《条件概率》是选修2-3中的一节课。高一时,学生对古典概型和几何概型有了很好的了解和掌握。在这一节课前,是《随机变量及其概率分布》,学生理解了将实验结果映射到实数,会画概率分布列和概率分布表。这些教学内容,让学生对单个的事件概率有了充分地理解和掌握。在这样的背景下,引入“条件概率”,进而将对单个事件概率的研究深化到向两个或两个以上事件概率的研究。这对学生的学习能力是一次挑战。在备课时,对教学内容“广度” 的延伸,让教师在教学中了解学生的已有的知识点,有利于教学时的有的放矢,有利于教学内容的顺利展开。
 
3重点难点
重点:条件概率的判断及计算.
难点:条件概率问题的理解.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【讲授】通过三个教学情境的设置,一步步引导学生自己得出“条件概率”的公式
       条件概率的定义是“对于两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为事件B发生的条件下事件A的条件概率”。对这一定义的引入,课本上是以“抛硬币”这一试验作为引入,然后给出定义。笔者认为,这样的引入比较自然、通俗,学生容易理解并接受。但是,课本在引入定义后,直接给出了“条件概率”的公式,学生在接受这一公式时是很被动的。而在应用中,若对这一公式没有本质上的理解,死记硬背,不能灵活运用,就会导致出错。那么,如何让学生一步步主动地得到这个公式呢?这对教学的情境设置提出了“梯度”要求。 经过反复的讨论和优化,我们设置了以下三个教学情境,分三步让学生慢慢地揣摩公式、修改公式、理解公式。把“得出公式”这件事交给学生。
情境1: 1.抛掷一枚质 地均匀的硬币两次. (1)两次都是正面向上的概率是多少? (2)至少有一次正面向上的概率是多少? (3)在已知至少有一次正面向上的条件下,两次都是正面向上的概率是多少? 这一情境的设置就是课本上的“引入”,我们用此得到条件概率的定义,并让学生根据这三问“猜出公式”。果然,学生进入圈套。设“两次都是正面向上”为事件A,“至少有一次正面向上”为事件B,第三问即求:P(A|B)。由于第一问结果是“ ”。第二问结果是“ ”,第三问的结果是“ ”,学生很自然地猜测条件概率的公式是:P(A|B)= . 为了检验公式是否正确,顺着教学梯度,我们设置了情境2.
情境2:抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件构成集合S={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},求P(A), P(B) ,P(AB), P(A|B). 这是课本上的例1,设置这一情境的意图有两个: 1.让学生自己发现“猜错”了公式; 2.引入“P(AB)”这一概念。 果然,学生在运算过程中发现了自己猜错了。老师进而引导学生继续猜,学生很自然地猜:P(A|B)= 。 此时,学生都比较“迷茫”,两道例题,得出的却是两个不同的公式。到底哪个是对的?这时,教师又将教学提升一个台阶。教师提出,我们再来看一个问题,看会得到什么结果。学生的学习热情被调动起来,自己尝试得到公式是一件很“刺激”,很“兴奋”的事情。大家迫不及待地进入了情境3.
情境3: 如图所示的正方形被平均分成 个部分,向大正方形区域随 机地投掷一个点 (每次都能投中),设投中最左侧 个小正方形 区域的事件记为A,投中最上面 个小正方形或正中间 个小正方形区域的事件记为B,求P(A),P(B),P(AB), P(A|B). 这是课本的“例2”,设置这一情境的意图有三个: 1.让学生进一步揣摩和验证这两个式子哪一个是正确的; 2.图形的引入为让条件概率这一定义不再抽象,更为直观和易于理解; 3.为接下来“韦恩图”这一工具作铺垫。
      可以说,情境3的设置至关重要。学生要借助这一情境得出正确的条件概率的公式,同时由于情景3的图形优势,将条件概率这一概念的抽象度降低,容易让学生掌握并理解条件概率定义和公式的本质。 很自然地,学生得到了条件概率正确的公式应该是P(A|B)= 。教师在教学时借助图形,让学生自己感觉条件概率的定义。学生发现,在“事件B发生的条件下”,已经将研究背景缩小到图示的“单斜杠阴影”部分,在此条件下事件A再发生,即图示的“双斜杠阴影”部分,即为P(AB)。P(AB)要除以P(B),以体现“事件B发生的条件下”这句话。定义已经给出了条件概率的公式,原来条件概率很简单,只要把定义读出来,公式就出来了。 三个教学情境的设置,作为三个台阶,让学生一步步接近并理解“条件概率”的定义个公式,教学中梯度的设置让教学不再晦涩难懂,教师带领学生一步一个台阶走向正确的定义,让学生自己发现公式,也是对学生抽象度能力的提升。
活动2【活动】教师借助“韦恩图”,从直观上解释了条件概率公式,并让学生得出特殊情况下公式的变形。
        数学中各个知识点之间有时是关联的,如何利用知识点之间的相通性,深化教学内容,是教师在教学过程中尤其要注意的。我们注意到,在集合中“韦恩图”这一知识点可以很好地解释条件概率这一公式。因此,适时地引入进来,深化教学,帮助学生理解和掌握条件概率的本质,进一步做到“深入浅出”。 此图很好地解释了条件概率正确的公式 。
       至此,教师将“条件概率”的定义和公式很自然地“抛给”了学生。但一些爱思考的学生仍存有疑问:为什么在情境1中,会得到那个错误的公式?这是什么原因? 教师进一步引导学生思考一下三个问题: 
思考: (1) 若 ,则P(A|B)=
(2) 若A、B互斥,则P(A|B)= 
(3) P(A|B)与P(B|A)的区别是 P(A|B)= P(B|A)= 
       很快学生发现,在(1)中,由于 ,P(AB)= P(A)。 这就是说,大家在情境1得到的公式也是对的,学生的信心得到进一步提升。 在(2)中,由于A、B互斥,P(AB)=0,故P(A|B)= 这能否用“韦恩图”解释呢?学生得到了如下韦恩图的示意图: 在(3)中,学生很快得到P(B|A)= ,并用韦恩图进行了解释。 问题(3)的提出很有价值和必要,它让学生在解决具体问题时,不用再为设什么事件是“A”,什么事件是“B”为难,可以抛开束缚,灵活运用公式,因为他已经抓住了该公式的本质! 
      终于,教师和学生一起,利用韦恩图,提升了教学“深度”,降低了概念“抽象度”。以教师为指导,学生为主题,得到了条件概率的定义和公式,并且对该公式进行了知识点的迁移,对该公式的一些特殊情况作了探讨和研究。学生对这一公式真正地理解并掌握了!接下来,是知识的应用阶段了!
活动3【练习】通过三道例题的讲解和相应的配套练习,教师帮助学生巩固和深化对条件概率公式认识,让学生熟练掌握条件概率
      在例题的设置方面,很多教师容易犯的错误是“例题”的堆砌,没有把握好例题的“梯度设置”,例题的“难度”相当,“密度”太大,往往不能把握好教学“进度”,一节课草草了结,想讲很多,却好像什么都没讲明白。想多讲点,却好像总讲不完。因此,例题的设置也应该体现教学七适度理念。经过反复的推敲和修改,我们最终确定了以下三道例题,同时注重讲练结合,在每一道例题后面,配以相同类型的习题,以帮助学生及时巩固。
例1.抛掷两颗质量均匀的骰子各1次,向上的点数之和为7时,其中有一个的点数是2的概率是多少?
 练习:抛掷两颗质量均匀的骰子各1次,向上的点数不相同时,其中有一个的点数是4的概率是多少? 
      这一例题的设置旨在让学生利用条件概率的定义和公式解决和条件概率相关的问题。为此,教师在讲解例题时给出了两种解法: 设“向上的点数之和为7”为事件A,“其中有一个的点数是2”为事件B;解法一是运用公式,让学生加深对公式的印象;解法二是运用定义,让学生进一步体会条件概率问题实际上是在背景缩小的条件下研究事件发生概率,也让学生进一步讲这一定义和韦恩图这一知识点相“迁移”。练习的设置和例题时相同的研究背景,只是研究的具体问题变一下,换汤不换药,学生会自然地解出。教师在让学生回答也可导学生给出不同的解法。
例2. 在一个盒子中有大小一样的20个球,其中 10个红球、10个白球.某人无放回地依次从中摸出1个球,求: (1)第1次摸出红球时,第2次摸出白球的概率. (2)第1次摸出红球且第2次摸出白球的概率.
练习:从一批含有10件合格品、3件不合格品的产品中随机地逐个抽取,抽出后的产品不放回,设X表示直到取得合格品时的抽取次数,试求: (1)直到第2次才取到合格品的概率P(X=2); (2)直到第3次才取到合格品的概率P(X=3). 
      这一例题的设置旨在让学生注意在实际问题中区分P(A|B)和P(AB),例2(1)是条件概率,这样的问法和“在第1次摸出红球的条件下,第二次摸出白球的概率”是等价的,故应求P(A|B),例2(2)并不是条件概率,其本质是“排列组合”中的“分步计数原理”(乘法原理)。学生在一开始有点“混”,经过教师的点拨,学生先得到了例2(2)的结果即P(AB),并很快得到例2(1)两种解法:公式法和定义法。
     至此,学生对一个问题是否是条件概率问题学会了区分和辨别。加深了教学难度,体现了例题设置的梯度。
例3.设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物,则它能活到25岁的概率是 . 
    例3和前两道例题的区别在于,前两道例题学生很自然地往“条件概率”这一知识点去靠拢,而在看到例3时,不知道它隶属于什么问题,哪个知识点。故这一例题的设置旨在让学生把实际问题抽象成条件概率问题,提升学生对知识的“抽象度”。在本例题中,设“某种动物货到20岁的概率为事件A,活到25岁的概率为事件B”,则该例题可抽象为“是事件A发生的条件下,事件B发生的概率”,问题迎刃而解,且学生在解题过程中发现,此题中P(AB)= P(B)。这恰好是前面所讲条件概率公式的一个特殊情景。
      至此,例题和前面的知识点达到了前后呼应,和谐统一。 由于例题设置的梯度、难度、密度恰当,教师在讲解时自然可以做到不紧不慢,有些问题具体展开,有些问题点到即止,有些问题引导点拨,有些问题学生总结,整个教学课堂是活泼生动的,并不是教师的“一言堂”,也不是学生的“舌战堂”,教师一收一放,收放自如,很好地控制了课堂节奏,把握了课堂“进度”,知识点的迁移有体现了教学的“广度”,例题设置由浅入深,深入浅出,把握了例题的深度和梯度,具体的应用题抽象化,体现了教学的抽象度。
活动4【测试】三道课堂小练继续加强学生对条件概率公式的掌握,最后一道习题的设置为下一节课“事件的独立性”作铺垫
    课后巩固我们设置了这样三道题: 1. 若P(A|B)=P(B|A)=1/2,P(A)=1/3,则P(B)=
2. 在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (2)在第l次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率; (3)第2次抽到理科题的概率. 
3.抛掷红、蓝两个骰子,事件A为红骰子出现4点,事件B为蓝骰子出现点数是偶数,则P(A|B) .
       前两题是对例题的进一步应用,学生顺利解决。第三问的设置,由于事件A、B是相互独立的,而下一节课的教学内容即为“相互独立事件同时发生的概率”。教师在教学中引导学生发现此时: ,教师以“这就是我们下一节要研究的内容”作为结束语,延伸了教学的广度。课堂教学结束,学生仍觉意犹未尽,对下一节课充满期待。
活动5【active.type.pj】教师总结“条件概率”这节课学生应掌握和注意的地方,并和自己正在研究的课题相结合。

1.条件概率的定义和计算公式;
2.条件概率题型的解题思路:
(1)运用公式;
(2)运用定义,缩小范围研究.
3.条件概率中需要的注意的问题:
(1)注意事件A、B、AB的关系;
(2)注意所设事件和所用公式是否匹配.
“教学七适度理论”作为苏州中学数学教学模式的特色,它的成功在于这一理论让教师在备课时有一个提纲挈领,无论在知识点的引入、公式定理的推出、例题的讲解中都能有这一理论的指导和要求,让教师“带着镣铐跳舞”。精心的备课必然会收到良好的教学效果,而学生在教师的循循诱导下,提升了学习兴趣和学习信心,师生的互动又产生了智慧的火花,整个课堂教学不再如死水一潭,数学课不再枯燥无味。在教师的引领下,恰如抽丝剥茧,知识的本质被师生一步步挖掘。应该说,在现实的数学课堂教学中,如何把握“教学七适度”是大多数数学课堂教学的普遍追求,是提高课堂效率的有力保证,是在新课程背景下提高学生思维能力、创新能力的有效途径。
活动6【作业】作业的布置紧扣课堂重点和难点,做到“精心布置习题,留有思考余地”,注意作业的梯度、广度和抽象度。
1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.
2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率.
3. 袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率.
4.  甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.
5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率
6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率.
7.袋中装有8只红球 , 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.
(1)取出的两只球都是红球;
(2)取出的两只球都是黑球;
(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;
(4)第二次取出的是红球.  
8.某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.
 

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