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普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-3第二章第二节第一课时2.2.1条件概率-浙江省 - 宁波

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视频课题:普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-3第二章第二节第一课时2.2.1条件概率-浙江省 - 宁波

教学设计、课堂实录及教案:普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-3第二章第二节第一课时2.2.1 条件概率高中数学-浙江省 - 宁波

    
授课教师:浙江省镇海中学
 
二零一七年三月 
 
                    
                    
                            课题:§2.2.1条件概率 
一、 教学内容解析 
由于概率问题与人们的实际生活有着紧密的联系,对指导人们社会生产、生活具有十分重要的意义,所以概率是学生应该掌握的重要知识. 
相对于传统的代数、几何而言,概率论形成较晚,其定义方式新颖独特,具有不确定性,这是理解概率的难点所在.“条件概率”是人教A版《数学选修2-3》第二章第二节第一课时的内容.课程标准要求:“在具体情境中,了解条件概率的概念”.本节课在学生已有的古典概型基础上通过“抽奖”这一典型实例,展开对条件概率概念的探究,并得到求解条件概率问题的两种方法及相关公式.最后回归至条件概率的本质问题,条件概率具有概率的性质. 
同时,本节课的学习,将为后面介绍两个事件的独立性概率做好铺垫,并为学习二项分布等打下基础.让学生进一步体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决问题的特点. 
因此,我认为“通过生活实例,理解条件概率的概念”是本节课的教学重点. 
二、 学生情况分析 
1.从学生的认知基础看:学生在必修三已经学习了概率,对随机事件的概率、古典概型等知识有一定的认识,有阅读、观察的基础,具备一定的合作交流,自主探究能力.但是他们无法准备把握条件概率问题中“条件”的存在,这是教学中的一大难点. 
2.从学生的思维品质看:我们知道数学课堂应该是一个以学生为主体,教师和学生共同探求新知的过程.学习不是由教师把知识简单地传递给学生,而是由学生自己建构知识的过程.根据以上分析及这节课的内容特点,我将教学难点定为:挖掘条件概率问题中的条件. 
三、 教学目标设置 
依据教学大纲的教学要求,根据新课程的教学理念,从发展学生的六大核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学计算、数据分析出发,确定本节课的教学目标如下: 
(一)知识与技能 
在具体情境中,了解条件概率的概念,掌握条件概率的计算公式,并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题. 
(二)过程与方法 
创设教学情境,培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣,加深学生对从特殊到一般的
 
                    
             
                    
                            思想认知规律的认识,树立学生善于创新的思维品质. 
(三)情感态度价值观 
在知识的教学过程中,培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力,渗透归纳、转化的数学思想方法. 
四、 教学重难点分析 
(一)教学重点:1.条件概率的概念;2.条件概率公式的简单应用 
(二)教学难点:1.正确理解条件概率公式;2.灵活运用条件概率公式解决简单实际问题 
(三)突出重点、突破难点的方法: 
1.突出重点采用“抓三线、突重点”:一抓知识与技能线;二抓过程方法线;三抓能力线. 
2.突破难点采用“抓两点、破难点”:一抓学生情感和思维的兴奋点,类比古典概型,得到条件概率的概念;二抓知识的切入点,从古典概型进行切入. 
五、 教学策略分析 
基于教学内容的实际特点,教学大纲的基本要求,针对本节课的特点,在教法上,我采用以教师引导为主,学生合作探索、积极思考为辅的探究式教学方法;在教学过程中,我注重启发式引导、反馈式评价,充分调动学生的学习积极性,鼓励同学们动手试验,让同学们积极主动分享自己的发现和感悟;在教学手段上,我灵活运用黑板板书和多媒体展示.首先通过生活中的事例,激发学生学习热情,和体会数学源于生活,激发学生的创造力,活跃了气氛,加深了理解;在教学思想上,我以建构主义为主,强调数学知识的建构过程,让学生亲历条件概率的发现之旅.  
本节课立足于生活实践,从学生感兴趣的生活实例出发,引导学生对身边的概率问题进行分析.通过一系列问题串引发学生思考,除了古典概型和几何概型外,是否还有其他的概率问题,进而得到条件概率的概念. 
六、 教学过程 
本节课的总体设计思想是建构主义的.首先通过生活中学生喜欢和常见的生活事例创设情境,激发兴趣.然后通过抽奖模型的剖析,让学生体会生活中不仅存在着古典(几何)概型,还有条件概率模型.最后通过课本中的两个实例及著名的蒙提霍尔问题分析,让学生体会数学服务于生活,最后课堂小结,分享成长体会,达到教学目的.
 
1.创设情境,体会生活中不同于古典(几何)概型的概率模型 
“三张奖券中只有一张能中奖,现分别有三名同学无放回地抽取.” 【问题1】最后一名同学抽取中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 
【分析】如果三张奖券分别用12,,XXY表示,其中Y表示那张中奖奖券,那么三名同学的抽奖结果共有六种可能:121221211221,,,,,XXYXYXXXYXYXYXXYXX,且都有相等的可能性.用事件B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”,则B仅包含两个基本事件:
1221,XXYXXY.由古典概型计算概率的公式可知:21()63
PB
 【设计意图】从学生熟悉且感兴趣的抽奖模型引入,一方面是为了激发学生的听课热情,另一方面也是让学生回顾学过的古典概型,为引入条件概率做好知识上的铺垫.抓住生活实例中包含数学思维的部分进行提问,引导学生用数学的眼光观察、认识我们生活的世界,对生活中的现象和感性认识进行理性思考. 
【问题2】如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少? 
【分析】因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能出现的基本事件只有
12122121,,,XXYXYXXXYXYX.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是
12XXY和21XXY.故由古典概型计算概率的公式可知,此时的概率为24,即1
2
.若用A
表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”,则将“已知第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下,最后一名同学抽到中奖奖券”的概率记为(|)PBA,则1
(|)2
PBA
 【设计意图】有了前面的基础,此时学生能够从古典概型的角度解决这个新出现的概率问题,并体会其与古典概型问题的区别.帮助学生从感性上了解条件概率. 
【问题3】已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢? 
【分析】“第一名同学没有抽到中奖奖券” 这个条件,相当于缩小了基本事件的范围 【设计意图】本问题明确思考的角度,让学生的思维直指条件概率的本质,避免不必要的发散. 
2.归纳概括,形成条件概率的定义 
【问题4】对于上面的事件A和事件B,(|)PBA与它们的概率有什么关系呢? 
 
                    
             
                    
                            【分析】在事件A发生的情况下,事件B发生等价于事件A和事件B同时发生,即事件AB发生.因此 
()
(|)()
nABPBAnA
 其中()nA和()nAB分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件个数. 另一方面,根据古典概型计算概率的公式可知, 
()()
(),()()()
nABnAPABPAnn

, 其中()n表示中包含的基本事件个数.所以 
()()()()
(|)()()()()
nABnABPABnPBAnAnAPAn 
因此,可以通过事件A和事件AB的概率来表示(|)PBA 
【设计意图】回到问题本身.从古典概型角度探究条件概率的计算方法过程中,归纳共性,包含了综合、概括、比较等分析过程,是形成条件概率概念的有效途径. 【归纳概括】条件概率的定义 
一般地,设A,B为两个事件,且()0PA,称 
()
(|)()
PABPBAPA
 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(conditionalprobability).(|)PBA读作A发生的条件下B发生的概率. 
3.层层深入,探究条件概率的性质 
【问题5】条件概率也是概率,它具有概率的哪些性质? 
【分析】1、任何事件的条件概率都在0和1之间,即0(|)1PBA 
2、条件概率也有加法公式:(|)(|)(|)PBCAPBAPCA,其中B和C是两个互斥事件. 
事实上,由B和C互斥知事件AB与事件AC也互斥,从而
 
PABCPABACPABPAC 
再由条件概率的定义得 
(())()()
(|)(|)(|)()()
PABCPABPACPBCAPBAPCAPAPA
 
【设计意图】从概率的角度认识条件概率,揭示了条件概率的本质.通过证明条件概率的加法公式进一步熟悉条件概率的计算方法. 
4.例题精讲,掌握条件概率的计算方法 
【例1】浙江一高中生在进行高考选考科目“7选3”选择时,因自身实力有限,暂时只确定技术作为自己的选考科目,另外两门准备随机抽取.已知在剩下的6门科目中有3门理科科目(物理、化学、生物)和3门文科科目(政治、历史、地理),如果他从中依次抽取2门,求: 
(1)第1次抽到理科科目的概率; 
(2)第1次抽到理科科目且第2次抽取文科科目的概率; 
(3)在第1次抽到理科科目的条件下,第2次抽到文科科目的概率. (4)在第1次抽到理科科目的条件下,第2次抽到政治或地理科目的概率. 
【分析】设事件A为“第1次抽到理科科目”,事件B为“第2次抽到文科科目”,事件C为“第2次抽到政治科目”,事件D为“第2次抽到地理科目”,则“第1次抽到理科科目且第2次抽取文科科目”即为事件AB, 
(1)从6个科目中依次抽取2门的事件数为56()30nA,11
35()15nAAA,于是 
()151
()()302
nAPAn
 (2)因为11
33()9nABAA,所以()93
()()3010
nABPABn
 (3)解法一:3
()3
10(|)1()52
PABPBAPA 
解法二:()93
(|)()155
nABPBAnA
 
                    
             
                    
                            (4)11
()()2
1010(|)(|)(|)11()()522
PACPADPCDAPCAPDAPAPA 
【设计意图】在学生熟悉的情境中设置问题,引起他们情感上的共鸣,有利于更快地融入问题解决的氛围中.另外本例的目的在于演示条件概率的两种计算方法,其四个问题的设计有利于引导学生利用条件概率的定义计算条件概率(|)PBA.当然(2)(3)问的设计还在于如何区分要求的到底是条件概率还是交事件的概率,这是应用条件概率做题最关键的问题.第(4)问的设计则使学生熟悉应用条件概率的加法公式. 
【例2】一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求 (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; 
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率. 
【分析】设“第i次按对密码”为事件(1,2)iAi,则112AAAA表示“不超过2次就按对密码”. 
(1)因为事件1A和12AA互斥,由概率的加法公式得 
1121911
()()()101095
PAPAPAA
 (2)设“最后一位按偶数”为事件B,则 
1121412(|)(|)(|)5545
PABPABPAAB
 【设计意图】通过本例可以使学生进一步熟悉概率和条件概率的性质,并把这些性质用于简化概率和条件概率的计算. 【例3】举出一个条件概率的实例 
【典例】一个家庭中有两个孩子,已知其中一个是女孩,(假设一个孩子是男孩和是女孩的概率相等),问另一个是男孩的概率是多少? 
【设计意图】通过让学生自己陈述条件概率的问题,帮助他们进一步理解条件概率的概念,认清条件概率中的“条件”具体是什么,这也是解决此类问题的关键.通过举例,让学生体会条件概率在我们实际生活中的广泛应用,体会数学源于生活,又服务于生活的道理. 
5.拓展提升,体会条件概率的广泛应用 
【蒙提霍尔问题】 参赛者在三扇门中挑选一扇.他并不知道内里有什么.
 
主持人知道每扇门后面有什么.  
 主持人必须开启剩下的其中一扇门,并且必须提供换门的机会.  主持人永远都会挑一扇有山羊的门.  
如果参赛者挑了一扇有山羊的门,主持人必须挑另一扇有山羊的门.  
如果参赛者挑了一扇有汽车的门,主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门.  参赛者会被问是否保持他的原来选择,还是转而选择剩下的那一道门. 【问题6】如果是你,你会做哪种选择,哪个选择得到车的概率会更大呢? 
【设计意图】这是历史上著名的蒙提霍尔问题,用电影中的片段给出问题,形式新颖,提高学生学习的兴趣.通过大家对此问题的讨论,进一步体会条件概率的应用.当然这个问题,会有一定的难度,可让学生在课后进一步思考,并整理成文. 【问题7】(|)()PBAPB这个等式可能成立吗? 
【分析】若(|)()PBAPB,则()()(|)()()PABPAPBAPAPB,即事件独立性的概念 
【设计意图】此问题为下一节课做好铺垫,这一问题也揭示了学习条件概率的必要性 
6.小结 
【问题8】学习了这节课,你都有哪些收获? 
通过本节课的学习,其实,除了知识层面的收获之外,我想我们每一位同学都深刻体会到了,条件概率在我们实际生活中是无处不在的. 
【设计意图】通过本节课的学习让学生体会其中蕴含的哲学道理以及培养学生的探索与实践的精神与意识. 
7.作业 
1.课本P54 练习; 
2.继续探究蒙提霍尔问题,并整理成文. 3.了解条件概率的发展史 
【设计意图】通过本节课的学习让学生学会从条件概率的角度解决生活中的实际问题,同时拓展学生的眼界,为学生的进一步学习开一扇窗.

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