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视频标签：向量概念,推广与应用
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视频课题：人教A版高中数学选修2-1“向量概念的推广与应用”甘肃省 - 白银
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“向量概念的推广与应用”教学设计
一、教学内容解析
向量是现代数学中最基本、最重要的概念之一，具有几何形式和代数形式的“双重身份”。作为一种数学工具，向量具有丰富的实际背景和广泛的应用功能，是联系多种学科内容知识的重要媒介。“向量与向量之间的各种线性关系是理解和掌握线性方程组、线性变换和线性空间的关键，也是进一步求解线性模型的基础理论”[2]
对高中阶段学生认知来讲，“向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。向量是近代数学的基本概念之一，他的初步知识及其应用，早已列入近代数学的基础部分。”
[1]
n维向量的基本概念是连接高中几何向量和大学高等代数n维向量的桥梁，对于帮助学生对所学知识做出合理类比推广，体会所学知识在数学宏观框架中的作用和位置，具有重要意义。
据此，本节课教学内容内涵应为几何向量概念推广到n维向量后的模型化及应用，教学内容反映了类比思想、模型思想、数形结合思想。本节教学内容中，n维向量的定义属于概念型知识、n维向量的运算属于程序性知识、引导认识到自己的认知需要不断发展并激励自己不断求知属于元认知知识。为此本节课设定的教学重点是“n维向量运算的模型构建及应用”。
n维向量的学习是一个不断反复、循序渐进的过程，本节课教学内容的上位知识为几何向量的
概念及运算；下位知识则是构建n维向量运算的模型。
本节课教学中，需要从几何向量和生活实例出发，引导学生类比认识n维向量的定义，然后推广n维向量的运算形式，继而将具体问题模型化，借助n维向量运算实现解决。这一过程体现了数学研究“类比推广——建模应用”之路径及数学知识应用之价值。
二、学生学情分析
在之前的学习中，学生已经初步具备了n维向量概念及应用，能够运用几何向量解决二维和三维的问题，对几何向量的运算形式和功能比较熟练。以上知识为n维向量学习提供了认知基础。同时，这一年龄段的学生普遍思维活跃、求知欲较强、自我表现欲望较强。以上因素为本节课教学提供了非认知基础。
n维向量属于大学高等代数的重要概念，理解n维向量的概念和应用，需要突破向量概念和认知中“向”的束缚，达到理解“维度”的实质，需要学生具有更一般化的数学思维能力，更高的数学抽象能力和敏锐的数学建模能力，也需要学生具备积极的探索意识、稳定的情绪和坚持不懈的意志力。
上述需求与学生既有学习条件相比，高二学生在运算能力、类比和建模能力方面还有欠缺，意志力和情绪稳定性维度也显不足。这些欠缺和不足中，运算能力可以通过课前预习和Excel函数计算功能帮助学生化解、意志力和情绪稳定性维度的欠缺可以通过课堂鼓励和分解教学难度得到初步化解，建模能力不足可以通过类比几何向量熟识的模型加深理解。这其中突破向量概念和认知中“向”的束缚，达到理解“维度”的实质，是最难化解的难题。据此本节课设定的教学难点为“n维向量概念和运算的推广”。
三、教学目标设计
1．在几何向量的基础上，类比得到n维向量的概念。 2．在几何向量运算的基础上，类比得到n维向量的运算。 3. 能够利用n维向量的运算构建模型初步解决实际问题。
2
四、教学过程设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，计划将教学过程设计为七个阶段：
（一）复习几何向量的定义
问题1.我们已经学习过向量的哪些知识？ 师：启发学生回忆学习过的二维和三维向量知识。 生：回忆并思考上述问题。 【设计意图】
复习二维和三维向量，引发认知冲突。
问题2.期末考试成绩，中考成绩能不能形成有序实数组
师：中考成绩按照一定顺序（语文、数学、英语、理综、文综、体育）排布，形成一个有序实数组。 生：观察后发现的确可以组成一个有序实数组。 【设计意图】
从向量的坐标表示出发，揭示有序实数组的形式特点。 再举几个例子，体会有序实数组的特征。
问题3：以上三个例子我们都是用有序实数组表示了一组信息，在这三个例子中，表示方法有什么共同之处？
师：巡查指导学生小组讨论。
生：分组讨论三个实例的共同特点和不同点，并在全班交流。 【设计意图】
通过回答不同实例中的有序实数组，进一步清晰向量的每一个维度表示一个信息的特点。 （二）类比得到n维向量的定义
问题4.我们能否模仿几何向量的情形，也把这些有序实数组叫做向量？ 生：运用几何向量的形式尝试理解。 师：归纳总结。 【设计意图】
→ → → → 类比得到n维向量的运算
建构模型，解决实际问题
复习几何向量的定义
类比得到n维向量的定义
复习几何向量的运算
课堂小结
→
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在形式认知的基础上，直接抛出问题，制造认知冲突。 随后教师给出n维向量的定义并简要解析。 （三）复习几何向量的运算
问题5.二维向量和三维向量有哪些运算？
生：复习并写出二维向量和三维向量运算的坐标形式。 师：提问并展示。
【设计意图】
复习平面向量的运算，为n维向量的运算推广做好铺垫。 （四）类比得到n维向量的运算
问题6.大家可否类比得到n维向量的运算？ 生：类比得到n维向量的运算形式。 师：提问并展示。
【设计意图】
推广n维向量运算形式。 随后展示成绩表资料。
（五）建构模型，解决实际问题
问题7.大家可否在成绩表中利用向量加减和数乘运算解决问题？ 生：利用加减和数乘运算解决学生成绩的对比、求和以及求平均值。 师：提问并展示。
【设计意图】
建模使用n维向量运算解决问题。 建模使用向量是本节课重点知识。 【设计意图】
构建模型，利用向量运算解决实际问题，是本节课的重点知识，需要浓墨重彩地突出体现。不仅需要引导学生解决本节课的问题，还需要以本节课为依托，引导学生体会建模思想，掌握建模步骤，树立数学问题解决的信心。
尤其对于向量两点间的距离，是本节课的又一个难点问题，要引导学生理解教学例题中距离是和各维度的数据都“离得近”——距离的和最小，这和线性回归的道理相似，进而揭示n维向量数量积的应用，回应本节课开端抛出的问题，淘宝等网站的推荐算法的大致原理就是两组数据形成向量的夹角小。 （六）课堂小结
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