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视频标签：圆锥曲线的,光学性质及其应用
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视频课题：人教A版高中数学选修1-1第二章阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用-四川省 - 成都
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圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计
一.教学内容解析
本节课的内容是人教A版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》第三节抛物线后的一段阅读与思考材料。其主要介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质及其在实际生活中的应用。这部分内容是圆锥曲线知识的进一步拓展，也是数学知识与其他学科、与实际生产生活紧密结合的体现。
本节课围绕圆锥曲线的光学性质，以生活中的实例展开，引导学生历经探索与发现——阅读与思考——推理与论证——解读与应用——总结与反思的过程。学生通过阅读思考，交流分享，既掌握了圆锥曲线的光学性质及其应用，也锻炼了数学抽象、推理和表达能力，同时收获了一次理解现实问题情境——结构化现实模型——转化翻译数学问题——数学论证求解——回归现实情境，解读和检验数学求解结果，形成结论——再广泛应用结论的快乐学习体验，这对渗透数学建模思想，提高学生的数学核心素养有着深远的影响。
二. 学情分析 数学知识方面，学生已学完解析几何的课本知识内容，对用解析法解决解析几何问题的思想、方法已基本掌握。也学习过导数知识，因此能用导数求解切线斜率。在之前的学习中，同学生们已掌握了三类圆锥曲线的切线方程的求法，能较为熟练的应用。物理知识方面，成都市使用的人教版物理教科书在八年级上册第四章第二节详细向学生介绍了光的反射知识。特别是光在光滑平面上的反射，学生已经熟练掌握。对于本节课需要进一步了解的光线在圆锥曲面上的反射知识，只需稍加点拨，学生便能举一反三。因此，课堂中采用了微课的形式呈现。此外，高二的学生已能熟练利用书籍、电脑搜索各方面的知识，也为本节课的学习打下一定的基础。
另一方面，文科学生普遍具有丰富细腻的情感、较强的语言表达与归纳总结能力，而数学抽象与逻辑推理素养较理科学生稍逊一筹，数学学习的兴趣与积极性也不是很高。针对文科学生的特点，结合我对自己班级学生的了解，本节课以学生最近热议的黑洞事件和科技馆里的椭圆球桌为引，创设现实情境，吸引学生的注意，适时引导学生探索事件背后的共同奥秘，成功激发学生的求知欲与学习兴趣，同时也向学生渗透天文地理、日常生活，数学无处不在。此外，发挥学生优势，让学生通过阅读教材，归纳总结，自学知识；学以致用，分享交流，既解释生活的现象奥秘，也用于解决其他数学问题。对于学生不擅长的数学抽象与逻辑推理，让其充分独立思考后再通过生生互助、小组合作、教师搭桥的方式共同努力完成。采用这样的方式，增强文科学生学习数学的信心也让学生在静态的阅读思考和动态的合作交流中收获宝贵的数学活动经验。另外，整堂课将以学生为主体，自主探究，教师主导完成一次完整的数学建模，力求增强学生比较缺乏的数学建模的意识、提高其数学综合素养。
三. 教学目标
1.能在射电望远镜和科技馆里的椭圆球桌这两个关联的情境中发现与之相关的数学问题。 2.通过阅读教材，掌握三种圆锥曲线的光学性质，并能以抛物线的光学性质为例，完成对问题的转化和分析，结合物理知识，进行数学证明。 3.通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活、数学与其他学科之间的密切联系，理解数学的现实意义，增强学习数学的兴趣
4.通过经历数学建模的过程，体会数学建模的思想，感悟数学建模的一般方法。
5.在自主探究、合作交流的数学活动中提高运用数学语言和思维进行表达的能力，同时收获丰富的活动经验和愉悦的活动体验。
四. 教学重难点
1.重点：(1)圆锥曲线的光学性质及其应用
(2)数学建模思想方法的总结与提炼
2.难点：(1)圆锥曲线的光学性质的发现、证明与创新应用
(2)数学建模思想方法的总结与提炼
五. 教学方法
创设问题情境，自主合作探究
六. 教学辅助工具
网络画板、CourseMaker软件、中国科普网站、PPT
七. 教学过程设计 教学 环节
教师活动
学生活动
设计意图
(一) 探索 发现 提出 问题
1. 现象一：拍摄黑洞的射电望远
镜虽然形态各异，但它们的反射镜面大都为旋转抛物面。（播放视频）
2. 现象二：在这个椭圆的球桌上，
无论怎么击球，总能百发百中。
3.这两个现象中蕴含着一个什么共同的奥秘？
观看视频和动图演示，并思考两个现象背后的共同奥秘。
1.创设情境，引发学生学习兴趣，引出课题。
2.增强学生发现
问题提出问题的意识，培养学生的数学抽象和概括能力。
(二) 阅读 思考
1.请阅读与思考教材第65页的内容，通过阅读，你有哪些收获？
1.阅读教材，了解圆锥曲线的光学性质。
1.通过阅读教材，了解圆锥曲线的光学性质。
分析 问题
2.圆锥曲线分别具有怎样的光学性质？
(1)
(2)
(3)
3.为什么圆锥曲线具有如此奇妙的性质呢？
2.交流分享读后所得：
椭圆光学性质：
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上
双曲线光学性质：
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上. 抛物线光学性质：
1、从焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴。
2、反之，一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物线的反射，反射光线必过焦点。
2.培养学生阅读、归纳能力。
3.推进问题的解决，引发进一步的思考。
(三) 推理 证明 解决 问题
1.光的反射（以微课的形式展示） 经过入射点O并且垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角。
1.观看微课视频，回顾光的反射。
1.学生经历抛物线的光学性质的证明过程，让学生感受到数学的逻辑性和严谨性。
2.进一步巩固抛物线的光学性质。
光的反射定律（reflection law）: 1. 反射光线、入射光线和法线都在同一平面内。 2. 反射光线、入射光线反别位于法线两侧。 3. 反射角等于入射角。 反射面为曲面时,同样满足 2.翻译转化数学问题 现实情境：射电望远镜的反射镜面都是抛物面
现实问题：焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴。
2.完成数学问题的翻译转
化。
数学问题：
已知：抛物线)0(22ppyx焦点
)2
0(p
F，处发出的光线，
射到抛物线上一点)0)(,(000xyxP，经过抛
物线的反射后，得到反射光线PG。 求证：反射PG光线平行于y轴。 3.数学论证： 轴时当PG//y|FP|py|FH|p,yHpyyxxxxp
y:yl法
2131322
)
0(,0)(00000
0
类比抛物线的证明，同学可以课后再思考一下椭圆和双曲线的光学性质如何证明。（见附录一）
3.完成数学论证
(四) 实际 应用 内化 新知
1. 请结合你收获的知识，解释课
首两个现象中的奥秘。
2.如果是抛物线球桌，是否也能百发百中呢？为什么？
望远镜利用了抛物线可以将远处发射的平行电磁波汇聚到焦点上，便于收集。
从椭圆的一个焦点出发的小球经椭圆的反
射经过另一个焦点。
图中两条抛物线的焦轴重合。
当从其中1个抛物线的焦点弹出的弹片经过本侧抛物线反弹后，运动方向将转变为平行于这两条抛物线焦轴的方向。 再经远侧的抛物线反弹后即可到达远侧抛物线焦点位置。
1.进一步巩固圆锥曲线的光学性质。
2.充分展示圆锥曲线的广泛应用，让学生收获到学以致用的快乐学习体验。
3.让学生感受到要抓住事物的本质特征研究问题，养成勤学善思的好习惯。
4.创设光学情境，巧解数学问题，感受数学方法来源于生活，生活实际与数学的紧密联系。
3.如果是双曲线球桌，是否还能百发百中呢？为什么？
4.古希腊时代，西西里岛的统治者开凿了一个椭圆形岩洞作为监狱，被关押的犯人不堪忍受折磨 ，秘密商讨逃跑的计划，可每次的逃跑计划都会很快被看守知道。犯人们百思不得其解，开始相互猜疑，以为内部出现了内奸，其实并非有内奸，而是山洞的形状有奥妙。你能解开这个谜吗?
5.你能自己举出一些圆锥曲线的光学性质在生活中的应用吗？
当光线指向远侧双曲线焦点位置时，经过近侧双曲线的反射，光线能够汇聚到近侧双曲线的焦点位置。
弹射装置所在的圆弧形滑轨的圆心指向远侧双曲线的焦点，所以无论弹射装置在滑轨什么位置，从弹射装置弹射出的弹片的运动方向均是指向远侧双曲线焦点位置
的。 经过近侧双曲线反弹，必能到达近侧双曲线焦点位置
犯人和看守分别在椭圆的两个焦点上，而山洞正好是椭圆形。由椭圆的光学性质知，犯人发出的声波经椭圆反射都汇聚到了看守处。
自由发言 如手电筒、太阳能灶、放映机、奥运圣火采集器、
汽车后视镜等。
(五) 数学 应用 深化 新知
1.如图，已知手电筒反光碗的轴截面轮廓是抛物线y2=8x，焦点F发出的一条光线经抛物线上一点P反射后过点Q，若点Q的纵坐标为4，则点P的坐标=
2.（2013年高考山东卷22题改编）已知点P是椭圆C:14
22
yx上除
长轴端点外的任一点，连接21PFPF，设21PFF的角平分线
PM交C的长轴于M(m,0),求m的取值范围 .
1. 题目难度：⭐
考查抛物线的光学性质 学生通过本节课的学习能轻松求解（2，4）
2. 题目难度：⭐⭐⭐ 用传统解析几何的方法比较困难，学生如果能将
椭圆的光学性质+光的反
射定律+椭圆的切线方程
等知识相结合，问题便简单许多。
充分给予学生时间，独立思考。
(2
323-，)(详解见附录二)
创设光学情境，巧解数学问题。以学生最关心的高考题为引，让学生感受到圆锥曲线的光学性质在数学中的巧妙应用，同时深化了对圆锥曲线光学性质的认识。这既凸显了圆锥曲线的光学性质的广泛应用性，也再一次在学生心中埋下“数学来源于生活”的种子，启发了学生在日常生活中带上数学的“眼光”看世界。
3.已知l1,l2分别是椭圆1
5
92
2yx和双曲线13
22
yx交点A处的切
线，设这两条直线的斜率分别为k1,k2，则k1k2= 3. 题目难度：⭐⭐⭐ 本题数形结合可以从代
数和几何两个方面切入。
可以用传统的解析法求解，也可以用本节课所学的知识去求解，是对圆锥
曲线光学性质的深入挖掘。
学生先独立思考，再小组合作解决问题，最后以小组为单位，分享交流。 -1（详解见附录二）
(六)
归纳 总结 反思 提升
1.通过本节课的学习，同学们有哪些收获呢？ 2.课外提升
三个问题分享到班级学习云平台上，请学生课后继续思考。
(1)你能将圆锥曲线的光学性质进行组合，尝试设计一些作品吗？ (2)在圆锥曲线中能不能找到其它点也具备很好的光学性质？有没有其它的曲线也具有类似光学性质？ (3)如果不是从圆锥曲线的焦点发出的光，经圆锥曲线反射后会怎样呢？
3.向同学们分享备课时，有感而发写成的一首诗 预设1.知道了圆锥曲线的光学性质
预设2.经历了从现实情境中发现问题，转化翻译成数学问题，用数学的思想方法解决问题，再将结论广泛应用的过程。（教师适时渗透数学建模的思想方法）
1. 总结归纳知
识点和学习方法。 2. 引发学生课
后进一步深入思考。 3. 通过分享自
作小诗，表达教师自身对数学之美的体会和对数学的热爱，在潜移默化中渗透数学之美，感染学生真正热爱数学热爱生活。
八. 板书设计
九
圆锥曲线的光学性质及其应用
现实情境 现实问题 数学问题 数学求解
应用
检验
九. 教学反思
本节课的内容是人教A版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》第三节抛物线后的一段阅读与思考材料。其主要介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质及其在实际生活中的应用。这部分内容是圆锥曲线知识的进一步拓展，也是数学知识与其他学科、与实际生产生活紧密结合的体现。
基于《普通高中数学课程标准（2017年版）》，本节课以学生为主体，以数学建模为主线。创设现实问题情境，引导学生在观察发现、阅读思考、自主探索、合作交流等多种活动中经历了理解现实情境——提出现实问题——翻译为数学问题——数学论证求解——反馈给现实情境——广泛应用于现实生活与数学求解的过程，充分渗透数学建模的思想，提升了学生的数学核心素养，基本实现了教学目标。
充分了解学情后，本节课以学生最关心的热点事件黑洞和科技馆里的椭圆球桌为引，看似毫不相干，又蕴含相同的奥秘，成功激起了学生的求知欲，积极阅读教材，寻找答案。新知的学习方式也由传统的教师讲授式转变为阅读自学，分享交流。在这里，结合学生的讲解，通过网络画板，动态展现了三种圆锥曲线的光学性质，生动直观浅显易懂，加深了学生对新知的认识和理解。
对比呈现三种圆锥曲线的光学性质，发现其本质上的统一性，为类比证明与应用埋下伏笔。因此，课上只选择了一种圆锥曲线——抛物线进行了证明。在证明之前，特别引导学生完成了两件事：1、分析解决问题需要的储备知识，提前查阅准备。光学性质的证明中所需的物理知识，课中以微课的性质呈现了。2、转化为数学问题。这里同时渗透了数学建模中将现实问题转化为数学问题求解论证以及解决有关圆锥曲线的问题一般采用解析法两种思想。完成问题的转化后，结合知识储备，学生已经可以证明抛物线的光学性质了。借助希沃授课助手，充分给予学生展示讲解自己证明过程的机会，事实证明学生完成的很好！
数学模型的应用主要由现实情境中的应用和数学问题中的应用两个方面展开。在现实情境中，学生解释了课首两个事件中的奥秘，又就椭圆形球桌展开变式，变为抛物线与双曲线，提出是否还能百发百中，环环相扣，首尾呼应；加入寓言故事，增加趣味性；最后，学生自己举例，既内化了新知，也提高了学生观察事物、学以致用的能力，切实渗透了数学来源于生活也丰富了我们的生活。在数学问题的应用中，既有对圆锥曲线光学性质的简单应用，也有对圆锥曲线光学性质中的等角关系的深入挖掘。在独立思考、小组合作、分享交流的学习活动中，学生的逻辑推理、数学运算、数学语言表达能力都得到了充分地锻炼。同时，课堂评价方式也从教师评价学生的单箭头转变为生生互评、师生互评多线模式。让我惊喜的是，在解决问题2时，第一个学生的回答其实是有瑕疵的，刚开始大部分学生只关注于他思路的新颖，并未注意到。就在我以为需要向学生提出这个问题时，便有学生发现了这个问题，并给出了完善的方案。问题3的难度也不小，学生们能通过协同合作，给出多种多样的解法。可见只要给学生一片天空，他们完全能绘出美丽的彩虹。此外，借助这三个学生们最关注的高考真题改编的数学问题，再一次向学生传递，数学源于生活。
最后学生谈本节课的收获时，不仅从知识的层面谈到了掌握到了圆锥曲线的光学性质，感受到了物理知识与数学知识的融合，还从思想方法的层面感悟到数学建模的方法，真的很棒！教师适时完善学生的回答，提出对学生实现“三会”的希冀，学生不仅收获满满更是充满希望。留下三个思考题，发布到班级云平台，给学有余力的同学思考，这也是我一直在努力尝试的教育分层模式。最后的最后，和学生分享的小诗，是我在备课时的有感而发。这既是我对数学来源于生活又妆点着我们的生活的感悟，也是我一直在努力向学生传递的思想——数学也可以很美，数学也可以很文艺，我们要做一个有情怀的数学人。我相信这比空喊着“数学有用，我们要热爱数学”的口号，对学生更有触动。事实上，学生们都很喜欢这种方式，有的学生还将他们写的数学小诗与我分享。
纵观整节课，主线明确，脉络清晰，问题层层递进，活动环环相扣。教师始终明确自己引导和辅助的身份，着力启发、引领和渗透，要言传更需身教；不灌输意识、拨乱反正，给予学生充分的尊重和自由。学习新知需要靠自己去探索、阅读与思考；收获方法需要不断的实践、摸索与试错；感悟思想需要自己去类比、归纳和琢磨，通过这节课也让我看到了学生身上的无限可能。
当然这节课还有一些遗憾和不足，还需继续努力改进：
1.从现实情境中发现共同奥秘时，可以给学生更多一些时间思考和查阅资料的时间，这样收获的知识会更深刻一些；
2.分析如何证明抛物线的光学性质时，可以再给一些时间让学生自己查阅资料，获取相关物理学知识，从而更好地提高学生分析问题、查阅相关资料、寻求解决方法的能力； 3.应该让学生结合圆锥曲线的光学性质，设计创造一个新的作品，从而提高学生的创新意识，动手能力。
就在写这篇反思的前几日，有两则新闻引发了我对这节课和我的日常教学有了一些新的思考。一是中国队时隔4年再登国际数学奥林匹克竞赛冠军宝座，且6名队员全部摘得金牌；二是科技部、教育部、中科院、自然科学基金委共同制定《关于加强数学科学研究工作方案》，人民日报还就此在微博上开辟了一个话题，数学到底有多重要——“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”。在这个信息爆炸、日新月异、飞速发展的时代，数学仍然如此不可或缺，无可替代。但是，运算有计算机；5G网络时代已经来临，不会的知识，网上一搜便知；人工智能AI也正在迅速崛起......作为一线数学教育工作者，我时常在思考，落实到每一天，学生们真正需要的数学教育是什么样的呢？想起了几年前利用暑假回母校东北师大读教育硕士的时候，老校长史宁中教授正在修订新课标，非常忙碌，仍然坚持给我们这批免师生上课。还记得史教授说，我们是奋战在一线的中国数学教育的直接实施者，我们的努力关系着国家未来。那是我第一次听到“数学核心素养”、“‘三会’——会用数学的眼光去观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”“分层教育”这些名词，说实话理解得并不深，但还是默默努力尝试着。这些年感受着祖国的巨变，以自己浅陋的理解践行老校长的期许时，越来越体会到其中的深意。网络画板、超级画板、录频软件、希沃白板、图形计算器、网络，真正整合好各种资源；同时也要明确统领科学技术的一定是我们的大脑，比知识更重要的是思想方法，比学习更重要的是学习的习惯和方法；未来的社会一定是一个分工更明确的社会，数学奥林匹克竞赛冠军毕竟是少数，我们既要关注这部分的精英教育，更要看到每一个学生的成长与幸福，让不同的学生都能在数学上获得他的发展，让他们都能感受到不同面貌的数学之美，我想这是我正努力做的教育也是我会一直努力的目标。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
