联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：数学史选讲,中国古代数学家
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：人教A版高中数学选修3-1数学史选讲《中国古代数学家》湖北省 - 宜昌
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
教学分析：
1.教学内容分析：本节课的内容是人教A版高中数学选修3-1数学史选讲第三讲《中国古代数学瑰宝》第四课时——《中国古代数学家》，本节课主要介绍了我国古代三位著名的数学家刘徽、祖冲之、祖暅对圆周率的发展，球体体积公式的推证所做出的巨大贡献.通过教师引导学生经历动手操作、大胆猜想、探究讨论、证明推理、得出结论的探求过程，使学生了解割圆术，祖氏原理产生的文化背景，更好的体会其应用价值，更全面更深入地认识割圆术，祖氏原理和球体体积公式，促进学生对数学的理解。
2.学生学情分析：该内容属于选修系列3的内容，学生在以前的学习中和平常的生活中对中国古代的数学已经有了一定的认识，但都没有系统的学习，更没有进行主动的学习和深入研究。但该阶段的学生在思想上已比较成熟，思考问题的角度也趋于多样化，他们已经能够在教师的引导下积极主动地思考问题、大胆猜测、动手实践，也能灵活运用电子白板等辅助教学工具。 教学目标：
1. 知识目标：了解中国古代数学瑰宝；了解三位数学家刘徽，祖冲之，祖暅辉煌的数学成就；
了解割圆术， “祖率”，以及利用牟合方盖推证球体体积公式的过程.
2. 能力目标：渗透割圆术中蕴含的极限思想和微积分思想；渗透球体体积公式推证过程中蕴
含的转化、类比、构造思想 ;培养学生注意寻求数学内部的联系，把数学的逻辑性和直观性结合起来的数学学习习惯.
3. 情感目标：通过研究数学家们分析和解决问题的历史背景、内容和方法，培养学生学习数
学家们百折不挠的治学精神；求真求实、勇于探索，富于批判的精神；通过学习，让学生感受到中国古代数学历史的悠久与魅力，增强民族自豪感. 教学重点：
了解刘徽的“割圆术”；了解祖冲之的“祖率”；了解几何体牟合方盖的体积求解方法； 了解祖冲之，祖暅的“祖氏原理”；了解球体体积公式推证方法. 教学难点：
1. 如何对数学文化加以生动的阐述和提炼； 2. 如何将抽象的牟合方盖形象具体化； 3. 牟合方盖体积求解的探究过程. 教学过程：
引入新课
一．视频情境引入新课
（视频体验）视频《中华文明》片段和数学史文化图片，展现中华文化. 问题：你知道中国古代有哪些著名的数学家？
设计意图：感受中华文明，了解中国古代发达的科学技术，引出本节课的主题.
讲授新课
二．刘徽割圆术初探圆周率
（1）质疑：认为《九章算术》中关于圆面积的求法“周三径一”是不够精确的.
（2）创立：割圆术，以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出这些正多边形的周长和面积. 极限思想和无穷小分割思想：
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣. 若夫觚之细者与圆合体，则表无余径.表无余径,则幂不外出矣.
在圆内接正多边形与圆合体的极限状态时，余径消失了，圆面积上界的极限值就是圆面积，于是内外两侧的极限都趋向同一数值即圆面积.
222()nnnnSSSSS圆
（3）设计活动一：学生运用割圆术方法动手估算圆周率.
（4）对比:古希腊阿基米德的穷竭法
设计意图：认识刘徽割圆术的方法与思想，在动手实践中感悟与升华，通过与西方数学家的研究成果对比，增强学生民族自豪感. 三．情景剧推动新课
（1）质疑：《九章算术》的《少广》章“开立圆术”：316
9
dV球
两位学生表演情境剧：刘徽质疑《九章算术》中球体体积求法
《九章算术》的《少广》章“开立圆术” ：
置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径.
刘徽曰:
然此意非也。何以验之?取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸，规之为
圆囷，径二寸，高二寸，又复横圆之，则其形有似牟合方盖矣. （2）构造：“牟合方盖”模型
在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分就是牟合方盖.
正n边形
n=6
n=12
n=24
n=48
n=96
n=192
360
sin
n
sin60
sin30
sin15
sin7.5
sin3.75
sin1.875
近似值 0.866025
0.5 0.258819
0.130526
0.065403
0.032719
正n边形面积
四. 合作、动手初步认识牟合方盖
（1）设计活动二：动手制作牟合方盖模型，建立对牟合方盖的直观认识;
（2）设计活动三：层层设问引导学生观察，思考，讨论，交流突破难点： 问题1：正方体的内切球与它的两个内切圆柱是什么关系？
学生：两个圆柱都包含正方体的内切球，并与它相切.
问题2：正方体的内切球与牟合方盖是什么关系？ 学生：牟合方盖包含正方体的内切球，并与它相切.
问题3：用一个水平面去截牟合方盖和它的内切球，它们的截面是什么形状？具有怎样的位置关系？
学生：截面为正方形和它的内切圆.
问题4：截面圆与其外切正方形的面积之比为多少？ 学生：22=:4:4SSrr圆方：
问题5：牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积之比为多少？ 学生： :4
每一个高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都是:4 结论：牟合方盖内切球VV4
，将求内切球的体积转化为求牟合方盖的体积. 设计意图：通过活动二帮助学生建立“牟合方盖” 的直观认识；
通过活动三的层层设问使学生认识牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积关系，有助于培养学生构造性思维和探索、创新能力. 五.设疑推进新课
设疑：如何计算牟合方盖的体积呢?
刘徽曰：观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩，判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理. 敢不阙疑，以俟能言者.
设计意图：通过刘徽不能求出“牟合方盖” 的体积，调动学生求知欲；帮助学生体会和学习刘徽这位伟大数学家的谦虚谨慎，实事求是的治学态度.
六.祖冲之再探圆周率
介绍祖冲之的卓越贡献， 其中“祖率”是一项史无前例的创举.
《隋书·律历志》记载 ：祖冲之更开密法，以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二. 圆周率数值的上下限： 祖率（密率）：355=
113；约率：22
=7
3.14159263.1415927（肭数）（盈数）
设计意图：帮助学生认识圆周率的发展历程,从而更好地体会“祖率”的应用价值，同时也为祖氏父子释疑“牟合方盖”作铺垫.
七. 祖暅释疑“牟合方盖 ”，推证球体体积公式 （1）介绍祖暅的卓越成就； （2）内、外棋分割：
内棋 外三棋
（3）结论：外三棋立牟VVV8
1
（4）祖氏原理：幂势既同，则积不容异 （5）祖暅之开立圆术
取八分之一的正方体和牟合方盖，设正方体边长为r，在高h处用一水平面截这个几何体
（6）设计活动四：层层设问引导学生观察，思考，讨论，交流突破难点：
问题1：内棋的截面面积为多少？
学生：
问题2：外三棋的截面面积为多少？ 学生：
问题3：外三棋截面面积的数值可以看成哪个常见平面图形的面积？ 由此你能联想学过的哪个几何体的截面正好是这个平面图形？
学生：可以看成正方形的面积，联想到倒立的正四棱锥，它的截面正好也是正方形. 问题4：外三棋的体积是多少？
学生：正方体的外三棋与倒立正四棱锥在任意等高h处的截面面积总是相等的 由祖氏原理得 问题5：八分之一牟合方盖的体积是多少？牟合方盖的内切球体积是多少？
学生：锥立牟VVV813333231rrr33
16rV牟 结论：3
33
431644rrVV
牟球 1994年哈佛大学主编的《微积分》收录该方法
2222PMOMOPrh22
=SSrh红内棋2222=()SSrrhh外三棋黄3
1=3
VVr锥外三棋
设计意图：通过活动四的层层设问引导学生主动探究，突破难点；有助于培养学生转化化归能力，构造性思维和探索、创新能力. 小结新课
八.小结收获，领悟精神
设计活动五：师生共同思考、讨论、交流、展示本节课的学习体会
数学史料：1.圆周率的发展历程 ; 2.球体体积公式的推证过程; 3.认识了牟合方盖及其体积
公式.
思想方法：1.极限思想和微积分思想; 2.转化思想; 3.构造法思想.
领悟精神: 1.富于批判与创新精神; 2.注意寻求数学内部的联系; 3.注意把数学的逻辑性和
直观性结合起来
设计意图：通过活动五有助于学生更好的感受三位古代数学家丰富的数学思想、辉煌的数学成就以及严谨的治学态度；从而增强学生的民族自豪感，可以对学生进行良好的思想教育和爱国主义教育.
布置作业
1.查阅与刘徽割圆术相关的资料和视频，了解刘徽计算圆内接正n边形面积的方法. 2.找一找生活中还有哪些牟合方盖的实物，并计算它的体积.
教学反思
本节课所涉及内容非常丰富，但课堂时间有限，而几何体牟合方盖对学生来说抽象又陌生，在教学活动当中应适当多花一点时间让学生认识牟合方盖的构成过程和几何特征；构造与外三棋体积相等的倒立正四棱锥是本节课的又一难点，因为时间关系，教学活动中给学生自主思考，构造的时间不够充足.
板书设计
《中国古代数学家》
1. 刘徽：割圆术
徽率
牟合方盖
2. 祖冲之：祖率=
3. 祖暅：“祖氏原理”，
黑板右侧：学生演排
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
