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视频标签：解三角形,应用举例,距离问题
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视频课题：人教B版高中数学必修五第一章第1课时解三角形应用举例—距离问题-贵州省 - 六盘水
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第1课时 解三角形应用举例—距离问题
一、教材分析
本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析
距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标 （一）知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法
通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观
1
提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点
重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。 难点：测量方法的寻找与计算。 五、教学手段
计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）
教 学 环 节 教学内容
教师活动 学生活动 设计意 图
（一） 课前回顾 （预计 时间2 分钟）
同学们，我们首先来回顾一下本章所学的几个重要知识点。
1）三角形常用公式：
π=++CBA
正弦定理：
RC
cBbAa2sinsinsin=== 2）正弦定理应用范围：
1. 已知两角和任意边，求其他两边和一角。 2. 已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)。 （3）余弦定理：Abccbacos2-222+=（其余两个规律相同）
（4）余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：
1.已知三边求三个角；
2.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两
个角。
教师 需要 用精炼的 语言 引导 同学回忆知识
学生主动回忆旧知 知识回顾，
为这节课的应用作
准备
2
（二）
新知储备、设疑引知 （预计时5分钟）
实际问题中的常用角
1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向的水平角．如图(1)所示．
2．方向角：相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角．
①北偏东α°，即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向，如图(2)．
②北偏西α°，即是由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． 其它方向角类似．
情景展示，引入问题
情景一：比萨斜塔 （展示图片）
师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？ 情景二：河流、梵净山（展示图片）
师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？
引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片） 1 经纬仪:测量度数 2卷尺：测量距离
帮助 学生 了解本节课的新知 识。引导
学生思考如何解决距离问题。
积极 配
合， 快速记忆和掌握常用
角。
为下
面的应用问题打下
基础。活跃课堂气氛，提高学生学习兴趣。
3
（三） 新课 讲解 （计时为20分钟） 新课 讲解
本环节一共给学生讲解三个例题，由此得到距离问题的两个类型，让学生在用解三角形计算距离与高度这一类问题上有所认识。 一、介绍解题思路
解三角形应用题的基本思路:
实际问题――→画图抽象数学问题―――→解三角形
数学问题的解――→检验实际问题的解． 二、测量距离问题的两种类型
例1 (2010·陕西高考)在△ABC中，已知B＝45°，
D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的
长．
[分析]
由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC2
2AD·DC
＝100＋36－1962×10×6＝－12
，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°， 在△ABD中，由正弦定理得
ABsin∠ADB
＝
ADsinB
，
∴AB＝sin∠ADBsinB·AD＝10sin60°sin45°＝56.
类型1如右图，你所在点A，不可到达点B，欲测得AB长度，可再取可到达点
C，构造△ABC，我们可测出∠BAC与∠BCA及AC.
于是，由正弦定理可求AB的长．
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从
通过例题由浅
入深地给 学生讲述
利用正、余弦定理计算距离的问题，中间有些问题需要师生之间的互动。
认真思考求解的一
般步骤和方法，找出其中
的规
律。得到两种类型。
交给学生解答一般解三角形实际问题中测量距离的求解方法。让同学们了解到解三角形在实际中的应用是很广泛的。
4
新课 讲解
与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是006045==βα和，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
[分析]
如图，因为BAAAAB11，又
已知1AA=1.5m,所以只要求出BA1即可。
解:
4
.28≈361822
∴11+==BCBA
)(9.295.14.28≈∴11mAABAAB=++=
答：烟囱的高为 29.9m.
例3 隔河可以看见对岸两目标A、B，但不能到达，在岸边选择相距3 km的C、D两点，并测得∠DCB＝45°，∠BDC＝75°，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．
[分析] 分别在△BCD和△ACD中利用正弦定理求出BD和AD，然后在△ADB中利用余弦定理求出AB.
考虑例三有没有别的求解方法？
°
°
×=
==
°=°°=15sin120sin12sinsin∴sinsin:,154560∠,Δ11111
1
111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在
5
在△BCD中，因为∠DCB＝45°，∠BDC＝75°，所以∠DBC＝60°，又CD＝3，由正弦定理得
BD＝
3sin45°
sin60°
＝2，在△ACD中同理可求得AD＝
3，在△ABD中，由余弦定理得，
AB＝(2)2＋32－2×3×2cos(75°－30°)＝
5(km)．
答：A、B两点间的距离为5 km.
类型二： 如右图欲测BC的长，选取你可到点A，由于AB、AC均不可直接测得，由(1)可知，只要再取点
D，即可获得AB、AC的长，∠BAC可测，从而得到BC，
也可先求得BD、CD，再在△BCD中用余弦定理求得BC.
变式训练
如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点A、
B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，则河宽为________米．
[分析] 在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝60°，由正弦定理可得
AC＝
AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°
sin60°
＝20(32＋
6)，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝20(32＋6)sin45°＝20(3＋3)，
∴河的宽度为20(3＋3)米．
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（四） 知能达标训练(记时10分钟)
基础落实 1.已知A、B两地相距10 km，B、C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A、C两地相距( )
A．10 km B．103 km C．105 km D．107 km
[解析] AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝700，∴AC＝107 km.[答案] D
2．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据中，较适宜的是( )
A．c与a B．c与b C．c与β D．b与α
[解析] 在a，b，c，α，β五个量中，a，c，β不易测量，故选D.
3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛与B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛与C岛之间的距离为________n mile.
[解析] 画出示意图，易得C＝45°，由正弦定理10sin45°＝BCsin60°
，∴BC＝56.
能力提升
一、选择题
1．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )
A．α、a、b B．α、β、a
启发学生独立思考的能力。
结合所学最好能独立解答。
集体回答和个人回答相结合。
夯实
基础，提升能力。
7
C．a、b、γ D．α、β、b
[解析] 要测AB.由余弦定理可知，需测出b、a、γ.
2．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为( )
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
[解析] 如图，由题意知，∠ACB＝120°，∴AB2＝3002＋5002＋2×300×500×1
2
＝490000，
∴AB＝700米． 二、填空题
3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则AC两地距离为________公里．
[解析] 由题意可知，
AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°. 由余弦定理得 AC2＝27＋4－2×33×2·cos150°＝49，AC＝7. 则A、C两地距离为7公里．
4.甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．
[解析] h
甲
＝20·tan60°＝203(m)，h
乙
＝
20·tan60°－20·tan30°＝
403
3
(m)．
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（四）
小结 （计时2分钟）
小结：
1.解三角形应用题的基本思路:
实际问题――→画图抽象
数学问题―――→解三角形数学问题的解――→检验
实际问题的解．
2.测量距离问题的两种类型
关键：多观察及正弦定理、余弦定理的灵活运用 3.拿到一个题目，我们要三步走：
第一步要认真读题，找出题目中的已知条件和所求问题。
第二步，把所求的边放到一个三角形中，并观察该三角形的已知条件能否求解。
第三步，如果条件不足，把所需条件再放到一个已知条件多的三角形中求解。最终得到所求边长。 希望同学们学习了今天的内容，能够灵活掌握正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤。并且在遇到现实中一些问题时，能的用我们学到的数学知识加以求解，达到学以致用的效果。
带领学生一起总结或引导学生自行总结。 时间充裕的话，由学生自行总结。 帮助学生
梳理
知识，
到达系统理解知识
的目的。
（五） 课后作业
同学们课后自己完成12页课后题1和2. 强调规范答题 要求学生独立完成 巩固新知，达到
熟练
运用的目的。
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七、板书设计
八、教学反思
1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实． 教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．
2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
