联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：直线与椭圆的位置关系
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高三数学复习《直线与椭圆的位置关系》福建省优课
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
高三数学复习《直线与椭圆的位置关系》福建省优课
高三复习《直线与椭圆的位置关系》教学设计
教学目标：
1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法，结合一题多变、一题多解的形式，掌握利用“数形结合思想”和“方程思想”在解决圆锥曲线过程中的应用。
2．掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长及相应的直线方程相关题型的解决方法； 3．培养学生主动探究知识、合作交流的意识和运用方程思想、分类讨论、数形结合等重要数学思想解决问题的能力，激发提出问题和解决问题的勇气。
教学重点：直线与椭圆的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的运
用。
教学难点：等价转换、数形结合、设而不求在解题中的灵活应用。 教学方法：多媒体课件辅助教学. 教学过程：
一、高考要求：
1、能解决直线与椭圆的位置关系的判断 2、会用弦长公式求弦的长；
3、会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程等。
本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》，着重是掌握如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化解题思维，提高解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。
二、知识梳理：
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0,y0)与椭圆22xa+2
2y
b
=1(a>b>0)的位置关系:
点P在椭圆上 ⇔202xa+202yb=1,点P在椭圆内部 ⇔202xa+202yb<1,点P在椭圆外部 ⇔202xa+2
0
2yb
>1.
2．直线Ax+By+C=0与椭圆22xa+2
2yb
=1的位置关系：
（1）几何法(数形结合思想) （2）代数法（方程思想） Δ的取值 解的个数
公共点个数
位置关系 Δ>0 2 2 相交 Δ=0 1 1 相切 Δ<0
0
0
相离
3．椭圆的弦长
）0（或0 1
0x联立2222112122
2
2CyByACxBxAbya
xCByA
2
（1）若直线AB斜率不存在，即直线AB：x=x1，则|AB|=|y1-y2|
（2）若直线AB斜率存在，设直线方程：y=kx+b，与椭圆22xa+2
2yb
=1(a>b>0)交于
A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|
法1：解方程组得A、B的坐标再求|AB|；
法2：利用韦达定理与弦长公式求。(设而不求)
|AB|=2
1k|x1-x2|=
2
1k21212
()4xxxx
=
2
11k|y1-y2|=
2
11k21212
()4yyyy.
三、应用举例：
例1.（1）判断直线y=2x+1和椭圆 的位置关系； 直线与椭圆相交。,064089 12
12）联立1解：（2
2
2xxyxxy
变式：设交点分别为A、B，求所截弦长|AB|.
解：
958）971（）980（|| ）9
7
-，98-（）1，0（法一：22
ABBA
9
58)98(54)(k1||k1|AB| 0,9
8
法二：22
122122122121
xxxxxxxxxx
（2）判断直线y=2x+m和椭圆
的位置关系； 2
222
22
2872)22(366402289 122）联立2解：（mmmmmxxyxm
xy
.直线与椭圆相离,时3或3，即0当时，直线与椭圆相切；3，即0当时，直线与椭圆相交；33-，即0当mmmm
12
22
yx12
22
yx
3
所在直线的方程。
最长弦相交时，被椭圆截得的
12
与椭圆 m2xy：求直线1变式22
AByx
02289解：联立方程22mmxx
时，直线与椭圆相交；33-，即0当m
2
222
1221221222121m-99
10
29）22（4)98(54)(k1||k1|AB| 922,98
mmxxxxxxmxxmxx
.2 所在直线方程为AB 最长，此时|AB|时，0当xym
最小？最小距离是？
的距离
上是否存在一点到直线12
时，椭圆4：当2变式22
yxm
与椭圆相离42 时，直线4解：xym
5
55
|
43|.的距离42，32即两平行直线的距离最短，42直线与椭圆的交点到
32 直线min
dxyxyxyxy
（3）直线y=kx+1和椭圆 恒有公共点，求m的取值范围。
0224)2( 12
1
联立2
且0）依题意可知，3解法一：（2222
mkxxkmmy
xkxymm 01688)22)(2(4162222mkmmmkmk
1212km
综上可知，m的取值范围为[1,2)∪(2,+∞).
122
2m
yx
4
2且0解法二：依题意可知，mm
直线y=2x+1过定点（0，1）
① 当m<2时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b=m，
要使直线与椭圆恒有交点，则
，
1m21即m ②当m>2时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a=2m
可保证直线与椭圆恒有交点，即m>2
综上可知，m的取值范围为[1,2)∪(2,+∞).
2且0解法三：依题意可知，mm
直线y=2x+1过定点（0，1）
要使直线与椭圆恒有交点，即要保证 定点（0，1）在椭圆上或内部：
11202
2m 1即m
综上可知，m的取值范围为[1,2)∪(2,+∞).
设计说明：
（1）学生可以分别从形和数这两个角度考虑；
（2）含参问题，需要分类讨论，来判断直线和椭圆的位置关系；
（3）可以利用根的判别式得出恒成立，这个代数角度去解决，也可以从直线过定点（0，1）的几何角度去解。
（4）利用一题多解的形式，锻炼学生的思维能力。
的面积。两点，求,于的直线交椭圆
）及2-，0（，若过,的左右焦点分别为12
已知椭圆.2例212122
ABFBAFPFFyx
（一题多解）
022方程为直线,1,1,2解：222yxABcba
5
9
2
104)(1|
|1||32
,916,06169可得12
22法一：由21221221221212
2
2
xxxxkxxkABxxxxxxxyyx
5545
|
22|的距离到直线又2
hABF
.9104554921021||212
hABSABF
。91049104221||||219
10
44)(||94
,94,0449可得12
022法二：由2121212212121212
2
22
yyFFSyyyyyyyyyyyyyxABFyx
设计说明：
（1）弦长公式的应用；
（2）一题多解的形式，利用韦达定理，设而不求，求出弦长。
四、小结
1.直线与椭圆的三种位置关系及判断方法：
解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △<0 相离 ；△=0 相切 ；△>0 相交 2.弦长的计算方法：（适用于任何曲线）
|AB|=
2
1k|x1-x2|=
2
1k21212
()4xxxx=
2
11k
|y1-y2|=
2
11k
21212
()4yyyy.
6
五、知识检测
1.若直线y=x+m和椭圆4x2+y2
=1有公共点，求实数m的取值范围。
2.椭圆 上的点到直线 最大距离是 。
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为300
的直线，则弦长|AB|= 。
教学反思：
本节先让学生完成学案，明确要复习的相关知识，提示学生以直线和圆锥曲线的几何特征为主线展开思考和讨论，回顾相关知识，教学过程中主要利用一题多变、一题多解的形式，梳理直线与椭圆的位置关系的知识点，通过数形结合、函数与方程思想，培养并提高学生的运算能力和发散思维能力。
本节的成功之处是从一道例题展开，由点到面，梳理知识结构，培养思维能力，减少了很多重复运算和重复练习讲解，让高考备考一轮复习的教学从“题海”中走出来，这也完全符合新课程标准的精神。
其次，教学过程中利用电子白板、PPT动画演示呈现课堂教学内容，同时利用实物投影的功能实时反馈学生的答题情况，体现了信息技术与课程的有机整合，提高了教学效率。
六、板书设计
课题：高考复习：直线与椭圆的位置关系
1． 点与椭圆的位置关系 例1 例2 2． 直线与椭圆的位置关系
3． 弦长公式
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
