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视频标签：二项式定理
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视频课题：高中数学苏教版选修2-3第1章《1.5.1二项式定理》江苏省- 昆山
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高中数学苏教版选修2-3第1章《1.5.1二项式定理》江苏省- 昆山
《1.5.1二项式定理》教学设计
一、 课题分析
二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，定理的证明是计数原理的应用。定理的探索过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决问题的一般方法。是培养学生数学探究能力的极好的载体。 二、 学情分析
认知分析：学生的认知结构中已经有了二项式的平方、立方的有关知识，初步具备了乘方、多项式运算、组合数等相关的知识储备，能够在教师的引导之下通过小组探究，理解并掌握本节课对二项式定理的推理演绎过程。
能力分析：学生能够运用所学的知识解决简单问题——求组合数，但归纳演绎能力有待于进一步提高。
三、 教学目标 1． 知识目标
了解二项式定理的推理过程，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能正确运用它们解决有关问题 2． 能力目标
培养学生理解分析、归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力 3． 情感目标
通过二项式定理探究过程激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，使学生体会数学中发现、分析和解决问题的一般方法 四、 教学重难点
重点：了解二项式定理的推理，会灵活运用二项式定理 难点：二项展开式的获得 五、 教学过程设计
本节课应属于概念+操作的课型，因此，授课中务必要解决以下几个问题： （1） 为什么要使用二项式定理？ （2） 什么是二项式定理？
（3） 二项展开式是怎么获得的？ （4） 什么时候使用二项式定理？
（5） 怎样正确使用二项式定理及其通项公式？ 基于此，本节课设计了以下几个环节
（一） 创设情境 引入课题 师（幻灯片上打出图片）：同学们知道他是谁？是的，他就是牛顿，被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，他不仅是一位物理学家，还是一位伟大的数学家，他在数学上第一个伟大的发现就是我们今天要学习的内容---二项式定理（板书课题），今天就让我们沿着大数学家牛顿的足迹重温他探索发现二项式定理的历程，牛顿是怎么样发现二项式定理的？
情景导入：1664年冬，年仅22岁的牛顿研读沃利斯博士《无穷算术》，他发现：
()2
222abaabb+=++ ()
3
322333abaababb+=+++
()
4
ab+=_____________________
………………………………（提问）
研究展开后有多少项，每一项是什么样的，每一项的系数是多少 （二）自主探究 建构概念 提问，引导学生观察、讨论
用组合数的方法重新得到()2
ab+、()3
ab+、()4
ab+的展开式
于是猜出：011()......nnnnn
nnnabCaCabCb-+=+++
师：这仅仅是猜想，数学是严密的，猜想的结论需要证明，我们如何证明？ 生：要说明三点：一是项数，二是项的形式，三是项的系数
师：可是那么多项一项一项地说明是不是很麻烦？你有简单的办法吗？
提示一下，这么多项你能不能用一个统一的式子表示出来？ 比如：选r个b时，对应的式子是什么？
生：rnrr
nCab-（老师补充完整上式）
师：我们发现r 取不同的值，它可以表示展开式中不同的项，我们把它叫做通项。现在你有更简单的证明方法了吗？
生：因为每一项都是n个字母相乘，从n个括号中取r个b有r
nC种取法，其余括号取a, 有n-r个a，只有一种取法，所以第r项就是rnrrnCab-
师：r的变化是从几到几？
生：从0到n
师：很好！你用通项代替一项一项的说明，体现了数学的简单之美，只是rnrr
nCab-是
第r项吗？
生：是第r+1项
师：这就是牛顿发现的二项式定理，右边的多项式叫做()n
ab+的二项展开式，通项第r+1项通常用符号Tr+1表示
观察二项式的展开式的特点
下面通过3个例题，来体会一下二项式定理的运用. （三）例题精讲 强化概念
例1．求5
(12)x-的展开式 训练（1）求展开式中含3
x的项 训练（2）求第5项的二项式系数和系数 例2．求6
1()2xx
-
的二项展开式中的常数项 例3．化简：4
3
2
(1)4(1)6(1)4(1)1xxxx-+-+-+-+
（通过小组讨论、口答、板演等方式，帮助学生在运用中进一步理解二项式定理，深化对公式的认识和活用） （四）拓展训练 提升能力
在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx-----的展开式中含4
x项系数是____
（五）课堂小结 巩固概念
师：同学们想一想，本节课你有些什么感受呢？
生：本节课我们顺着数学家牛顿的足迹，重温了他发现二项式定理的历程。知道了二项式定理以及它的项数、项、系数的特点，还学会了公式的正用、逆用 师：课后你们还想进行哪些拓展探究？ （激发学生课后进一步探究的欲望）
师：牛顿还以二项式定理作为基石，发明出了微积分，当然他还有很多发明，相信大家的探究会使你的视野更开阔。 六、教学反思
在教学过程中，要重视数学历史背景，以及学生思维的成长。通过情境激发学生的好奇心，学习动机，让学生感悟到科学研究其实并不是什么神秘的事情，也就是遇到问题不轻易放弃，永攀高峰。学生的思维可以在相互讨论中，可以在老师引导性的问题下被促发，从而想办法去探究问题，解决问题。我们都习惯于回归到特殊情形，由特殊到一般，平凡的方法就能解决不平凡的问题，让学生共同探究并展示探究成果，目的在于加强学生对教学过程的参与程度。推出关键环节的一般规律后，学生写出展开式，通过留白让学生思考能不能用一个统一的形式把规律表示出来，目的在于锻炼学生的思维严密性。提出适当的问题，并提出思维要求，可以让学生尽快投入到思维活动中。这就要求教师把课做出层次分明的分解，并选择适当的问题，用问题带动学生深入思考，引导学生用学过的知识、方法解决新的问题，并获得新的发展。本节课也想在这方面作些研究。
（一） 创设情境 引入课题 师（幻灯片上打出图片）：同学们知道他是谁？是的，他就是牛顿，被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，他不仅是一位物理学家，还是一位伟大的数学家，他在数学上第一个伟大的发现就是我们今天要学习的内容---二项式定理（板书课题），今天就让我们沿着大数学家牛顿的足迹重温他探索发现二项式定理的历程，牛顿是怎么样发现二项式定理的？
情景导入：1664年冬，年仅22岁的牛顿研读沃利斯博士《无穷算术》，他发现：
()2
222abaabb+=++ ()
3
322333abaababb+=+++
()
4
ab+=_____________________
………………………………（提问）
研究展开后有多少项，每一项是什么样的，每一项的系数是多少
互动探究 理解概念
师：这仅仅是猜想，数学是严密的，猜想的结论需要证明，我们如何证明？ 生：要说明三点：一是项数，二是项的形式，三是项的系数
师：可是那么多项一项一项地说明是不是很麻烦？你有简单的办法吗？
提示一下，这么多项你能不能用一个统一的式子表示出来？ 比如：选r个b时，对应的式子是什么？
生：rnrr
nCab-（老师补充完整上式）
师：我们发现r 取不同的值，它可以表示展开式中不同的项，我们把它叫做通项。现在你有更简单的证明方法了吗？
生：因为每一项都是n个字母相乘，从n个括号中取r个b有r
nC种取法，其余括号取a, 有n-r个a，只有一种取法，所以第r项就是rnrrnCab-
师：r的变化是从几到几？
生：从0到n
师：很好！你用通项代替一项一项的说明，体现了数学的简单之美，只是rnrr
nCab-是
第r项吗？
生：是第r+1项
师：这就是牛顿发现的二项式定理，右边的多项式叫做()n
ab+的二项展开式，通项第r+1项通常用符号Tr+1表示
观察二项式的展开式的特点
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