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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_重庆市优课

视频标签:两角差的余弦公式

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视频课题:高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_重庆市优课

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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_重庆市优课

3.1.1两角差的余弦公式 
一、教学目标 
(1)知识与技能目标:掌握公式的两种证明方法:数形结合法与向量法;学会运用分类讨论思想完善证明;学会正用、逆用、变用公式。  
(2)过程与方法目标:展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动,让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程。  
(3)情感、态度和价值观目标:发挥学生学习的主动性,鼓励学生大胆质疑、大胆猜想,培养学生的“问题意识”  
二、学情分析 
《两角差的余弦公式》是第三章第一课时的教学内容,学生已经掌握三角函数和平面向量相关知识,通过三个多月高中学习,富有强烈探索新知的欲望和一定的计算能力和逻辑推理能力,却在寻找知识与知识间的相关联系的能力不够,所以面对该普通班级的学生,本堂课将公式的证明过程放慢了节奏,由此希望学生能够通过自己的努力收获成功。 
三、教学重点、难点及关键 
重点:两角差的余弦公式的探究和应用 难点:两角差的余弦公式的由来及证明 关键:学生最大的困惑在于如何得到公式  
四、教学过程 
一、知识回顾,问题引入 快速答出下列三角函数值: 
0000
0
0
sin30,sin45,sin60,cos30,cos45,cos60,
 
知识回顾过度到cos150的值,提出两角差的余弦是否为余弦的差?利用特殊角带入否定了这个猜想。 
提问: 
例如,α=60°,β=30°,可以发现,左边=cos(60°-30°)=cos30°

,右边=cos60°-cos30°=

.显然,对任意角α,β,cos
(α-β)=cosα-cosβ不成立. 
 活动引入,体
现数学乐
趣,激发学生的学
习热情。 
   
 
                    
             
                    
                             
二、探寻特例,合作探讨 
从特殊情况去猜测公式的结构形式.     令cos)cos()cos(,则: 
令

sin)2
cos()cos(,2


则: 
分析:可见,我们的公式的形式应该与sinsincoscos和均有关系?他们之间存在怎样的代数关系呢?会不会是“+”、“-”、“”、“÷”?请同学们根据下表中数据,相互交流讨论,提出你的猜想. 用具体值检验猜想的合理性. 
令30,60则2
330cos)3060cos()cos( 
三角函数 60cos 30cos 60sin 30sin 三角函数值 
2
1 23 2
3 2
1 令30,120则90cos)30120cos()cos(=0 三角函数 120cos 
30cos 
120sin 
30sin 
三角函数值 
2
1
 23 2
3 2
1 学生再举特例进行验证.(各抒己见) 
   接着再利用单个特殊角的带入发现公式的组成部分,最后由表格中给出的三角函数值大胆猜想出两角差的余弦公式。  
三、提出猜想:sinsincoscos)cos( 四、理论证明: 
引导探究:研究三角函数问题,我们常用的一种方法就是利用单位圆,在单位圆中,角的余弦值可用余弦线来表示. 
  
  让学生体会数学知识的产生、发
展过程.   鼓励学生发挥想象力,大胆
猜测,然后再去验证其合理性,增强
学生探索问题、挑
战困难的勇气.     
引导学生运用数形结合的思想给出证明. 
 
                    
             
                    
                             
我们先来讨论最简单的情况: 
、为锐角,且 
问题初探:方法一:(利用三角函数线) 证明:在单位圆O中,作OXP1, 交单位圆于点1P,作1
POP, 则XOP.过点P作PM垂直x 轴于M,AOPPA于点1,过点
BOMABA于点作点 ,过点CABPCP于点,作,则: 
cosOA,sinAP,且OXPPAC1 
sinsincoscossincosAPOACPOBBMOBOM 
∴sinsincoscos)cos((、为锐角,且) 几何画板展示验证,锐角范围外的角等式仍然成立。 
  用三角函数线的证明方法对任意角的推广很繁难,教材中也未具体推导,
结合学生层次引导学生除了用几何方法外,用代数方法进行更严谨的证明。 问题再探:方法二:(利用向量) 
启发思考:我们来仔细观察猜想的结构,等式的左边是差角的余弦,我们在什么地方见到过类似结构?  (引导学生发现,提出证明方法) (学生:向量的数量积!)    
 
证明:在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角、,它们终边与单位圆O的交点分别为A、B,则: 
 
加强新旧知识
的联系.  
    使学生从直观角度加强
对差角公式结构形
式的认识.  
   让学生经历用
向量知识解出一个数学问题的过程,体会向量
方法的作用. 



P1 M B 

A 






y -1 
-1 


B)sin,(cos 
)sin,(cos  


0 A 
                    
             
                    
                                  OA=)sin,(cos,OB =)sin,(cos 
)sin,)(cossin,(cos|
|||)cos(
OBOAOBOA 
               =sinsincoscos 
∴)cos(=sinsincoscos  (0≤≤) 
方法小结:对比一下两种证明方法,你认为哪种更简单?向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具,在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力! 五、推广完善公式 
思考:作为两向量的夹角,有没有限制条件?还会有哪些情况?我们的结论还会成立吗?怎样给出证明?(展示幻灯片,引导学生找到
与夹角之间的关系) 
 
推广完善:令为OA、OB的夹角, 
发现 存在,使得、Zmkmk22或 无论哪种情况,都有cos)cos( 
sinsincoscoscos)cos(即 
小结:两角差的余弦公式: sinsincoscos)cos( 
(其中、为任意角,简记为)(C) 
     
 
    
 运用分类讨论思想.完善证明培养学生实事求是的科学态度.    
  要求学生对公式的形式加以
分析,体会数学中的对称
 
                    
             
                    
                              
3.1.1 两角差的余弦公式 
                  公式展示 
  证明 
1三角函数线法方法:     2向量法         角的推广       三.例1 ,变1    
例2,变2   
六、知识运用 
1、解决引例中的问题:求cos15°的值. 
的值吗?、你会求变式75sin1 
2、公式的逆用:的值求
15sin23
15cos21 
的值、求变式15sin15cos2 
3.学以致用:已知,13
5
cos),,2(,54sin
是第三象限角, 求)cos(. 
(运用公式时应根据角的范围,正确确定两角正、余弦值的范围) 七、小结反思,公式推广 
1、知识性内容的小结,学生总结本节课学习的基础知识及应用的数学思想(数形结合、转化与化归)公式探究的一般步骤: 
特殊→猜想→证明 
2 、在运用两角差的余弦公式时应注意: 
(1)根据角的范围,确定两角正、余弦值的正、负. (2)适当逆用公式,可达到化简计算的目的. (3)灵活选取两角的形式,活用公式. 
最后提出问题:适当变换两角差的余弦公式中两角的形式,例如取,你能得到哪些结论?
cos?
 八、作业:课后练习题 美. 学生运用所学解决实际问
题.对逆用公式解题加深认识。 活用公式,加深学生对公式中两角形式变化的认识,强化整体思想.   课后思考为下节课
做铺垫

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