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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_宁夏 - 银川

视频标签:两角差的余弦公式

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视频课题:高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_宁夏 - 银川

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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_宁夏 - 银川

《两角差的余弦公式》教学设计 
教材:人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》必修4 课题:3.1.1  两角差的余弦公式 课时:1课时 一、 教学内容分析 
三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处,是前面所学三角函数知识的继续与发展,是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性,教材选择两角差的余弦公式作为基础,使公式的证明过程尽量简洁明了,易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式,而是分探求结果、证明结果两步进行探究,并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实,也有利于学生学会探究、发展思维. 
因此,本节课的教学重点是:利用诱导公式发现两角差的余弦公式,并运用向量方法证明公式. 
二、教学目标 
1.掌握两角差的余弦公式,并能正确运用公式进行简单的求值运算; 2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用; 
3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中,体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法,能体会到数学思维的合理性与条理性. 
三、学生学情分析 
学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时,学生多次经历了由特殊到一般,归纳猜想等数学思维方法,基本具备数形结合的能力,这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.  
教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容,然后直接提出研究两角差的余弦公式,学生会感到有些突然;教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线;用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式,学生容易犯思维不严谨、不严密的错误. 

因此,我将本节课的教学难点确定为:发现并证明两角差的余弦公式. 四、教学过程设计 1.创设情景 
【情境问题】如图,某城市的电视发射塔CB建筑市郊的一座小山CD上,从山脚A测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB)为60,从A点观测塔顶B的视角(CAB)约为45,求:A,B两点间的距离. 
(请学生思考求解过程,某生表述:AB=2AD=2×50×cos6045=100cos15.教师引导说明15角
的余弦值是未知的,而60角、45角的三角函数值是已知的,不妨用它们来求差角6045的余弦值.) 
【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要. 
【思考1】cos6045如何求角60,45的正弦、余弦值来表示呢?  (请学生大胆尝试说明,并根据自己的结论计算验证.在这个过程中,可将问题一般化:两角差的余弦值与这两个角,的三角函数值之间有怎样的关系呢?引入课题:两角差的余弦公式) 
【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳,明确常犯的直接性错误为什么是错的,提出本节课的研究内容,统一对探究目标中“恒等”要求的认识. 
2.新知探究 
【思考2】在已学过的知识中,有没有类似求两角差余弦的式子呢? 
(请学生思考说明:诱导公式coscos,cossin2

.) 

coscoscos2


特殊化
 
【说明】观察以上两式就是把角用特殊角、
2

来替换.由于特殊中往往D
CB
A
45°60°
 
                    
             
                    
                             

能反映一般规律,我们不妨从上述公式出发,建立研究思路,寻找两角差的余弦公式的一般性规律.  
【设计意图】从学生的学习实际出发,回想已有的关于两角差的余弦的式子,寻找新旧知识之间的联系,使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生. 
【探究1】cos如何用角和的正弦、余弦值来表示呢? 本环节以教师引导探究为主, 展现知识的生成过程. 【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,PP的坐标吗? 
(请学生说明,点 
12cos,sin,cos,sinPP.) 
【问题2】根据三角函数的定义,cos是角的终边与单位圆交点的横坐标.那么,你能在图1中画出角的终边吗? 
(请学生说明自己画图的过程,可能会有两种做法: 
方法一:由角的终边画出角的终边,然后将角旋转角,得角的终边;方法二:以角的终边为始边旋转角,得角的终边. 
设角的终边与单位圆交于点3P,则点3P的坐标为
cos,sin) 
【过渡】在已知各点坐标的情况下,我们不妨用向量知识来解决问题. 【问题3】观察图1,有几组向量的夹角相等? 
(请学生说明:0312POPPOP,又向量的模相等,0312OPOPOPOP,由向量数量积的坐标运算得:coscoscossinsin.) 
【活动】根据上述推导过程,请同学们整理研究思路,在学案(附后表1)上完成图1对应的表格. 
β的终边y
xπ-β的终边
1,0()
π的终边
P3P1
P2
O
P0
                    
             
                    
                             4 
【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义,建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量,加强新旧知识之间的关联性,使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式,将探究一拆分为三个问题,帮助学生建立研究思路. 
【探究2】根据上述做法, cos2
的值如何用角,2的正弦、余弦值
来表示呢? 
(请学生根据学案中的图2,四人一组完成探究.  
教师引导说明角
2

的终边的形成
过程,学生类比cos的推导过程,以向量为工具,根据向量的夹角相等,得: 
0312OPOPOPOP 

sin2sincos2cos2cos

     
【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系,运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系,推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程. 
【思考3】观察上面两个式子,猜想:若,是任意角,那么 
cos                    ? (学生观察上式,归纳说明.) 
【设计意图】有特殊到一般,猜想任意角两角差的余弦公式,使学生成为数学结论的发现者,这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的. 
【探究3】你能否证明自己的猜想? 
β的终边yx
1,0()π2-β的终边P3
π
2
的终边
P2
P1
O
P0
                    
             
                    
                             

(请学生类比上面两式的推导过程,在学案中自主探究完成,并与周围同学相互交流,解决自己存在的问题.其中,差角的形成过程教师可利用几何画板旋转得到,帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程,并请该生解说: 0312OPOPOPOP 
coscoscossinsin) 
【设计意图】通过对猜想进行证明,体现数学知识的严谨性、合理性,使学生对公式的认识上升到理性高度.同时,体会向量方法的作用. 
【归纳】两角差的余弦公式:coscoscossinsin 【问题4】观察两角差的余弦公式,我们如记忆公式呢? 
(请学生尝试说明,教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳:余余正正异相连.) 
【设计意图】引导学生总结公式特点,帮助学生记忆公式. 3.应用举例 例.求cos15的值. 
(本例由情景问题提出,可引导学生采用不同的方法求值,认识到拆分角的多样性.) 
【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用,拓展数学思维,体会拆分的多样性,决定变换的多样性. 
4.课堂小结 
【问题5】本节课你学到了哪些知识,有什么样的心得体会? (学生说明,师生共同归纳总结.) 
(1)两角差的余弦公式:coscoscossinsin; (2)向量作为工具性知识的运用; 
(3)解决数学问题的思路:由已知到未知、由特殊到一般. 
y
xβ的终边α的终边1,0()
P3
α-β的终边O
P0P2
P1
 
                    
             
                    
                             6 
【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识,获得知识和能力的共同进步. 
5.作业布置 
(1)课本127页,练习2,3题; 
(2)查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗? 【设计意图】巩固所学知识,拓展解决数学问题的思路.

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