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视频标签：椭圆及其标准方程
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视频课题：高中数学人教A版选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程_广东省优课
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高中数学人教A版选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程_广东省优课
人教版选修2-1《2.2.1 椭圆及其标准方程（1）》教学设计
教学
目标
理解椭圆的定义并掌握椭圆的标准方程及其推导.
培养逻辑思维能力和综合能力，渗透坐标法、曲线与方程、数形结合、类比、
分类讨论等数学思想方法.
通过自主探索，合作交流，体验成功的乐趣，体会数学的精妙，感受数学的形式美、对称美、简洁美. 重点 椭圆的定义及其标准方程. 难点 椭圆定义的得出和标准方程的推导. 教法 启发引导、合作探索. 教具 多媒体、纸板、图钉、细绳.
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
情境导入
多媒体展示多张椭圆形的图片.
问题1：你能列举一些生活中椭圆形的
例子吗？
展示将圆压扁成椭圆的过程.
学生举例回答.
让学生思考椭圆可以由圆上的每一个点沿垂直于直径的方向按某个比例压缩得到.
通过对图片及将圆压扁成椭圆的展示，使学生对椭圆有一个整体和感性的认识. 椭圆定义的得出
1．探究 取一条定长的细绳、一张纸板、一支铅笔和两个钉子；
（1）把细绳的两端固定在纸板的同一点O处，用笔尖把细拉紧，移动笔尖，笔尖画出的轨迹是什么曲线？
（2）把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在纸板的两点F1，F2处；用笔尖把细绳拉紧，移动笔尖，笔尖画出的轨迹是什么曲线？
2．几何画板演示椭圆的形成过程.
问题2：在画出椭圆的过程中哪些量是变的，哪些量不变的？
问题3：类比圆的定义，你能总结出椭圆的定义吗？
让学生动手画出两种不同情况下的曲线即圆和椭圆.
此过程中让学生自主合作探索且类比归纳出椭圆的定义，由不完整到完整.并且让学生自己辨析绳的长度与两定点 F1，F2 间的距离之间的关系.
以圆为基础，通过类比，学生在教师的引导下，通过自己观察、猜想、动手操作得到椭圆的定义，由传统的一定义三项注意转变为自己探究，加深了对椭圆的理解，体会
《2.2.1 椭圆及其标准方程（1）》 教学设计 深圳科学高中 唐金波
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椭圆的定义：平面内与两个点 F1，F2
的距离的和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距.
学生总结出椭圆的定义.
数学的完备性，极大地提高了学生的学习热情和效率. 椭圆标准方程的推导
问题4：类比研究圆的方法， 如果想进一步研究椭圆，我们应该做什么？
问题5：要求出椭圆的方程，我们可以怎样建系呢？你认为哪些方法比较好（追问）？
如图，建立直角坐标系，设M(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c>0）,则F1，F2 的坐标分别为（-c，0），（c，0）.又设M与F1，F2距离之和等于a2.
即 |MF1|+|MF2|=2a， 所以2222()()2,xcyxcya+++-+=
移项后，得2222()2(),xcyaxcy++=--+
两边平方整理，得
222(),acxaxcy-=-+
再平方整理，得
22222222()(),acxayaac-+=-
两边同时除以a2（a2—c2），得 22
222
1xy
aac+=-. 学生回顾坐标法和求圆的方程的一般步骤，让学生自己提出：建系、设点、列出限制条件、代数化、化简得出椭圆的方程.
学生提出不同的建系方法.
根据椭圆的对称性，学生可能提出几种建系方法：
（1）以焦点 F1，F2所在的直线为x轴， F1，F2的垂直平分线为y轴；
（2）以焦点 F1，F2所在的直线为x轴， F1或 F2点为坐标原点建立直角坐标系；
（3）以焦点 F1，F2所在的直线为y轴， F1，F2的垂直平分
线为x轴.
此时将学生分成三组就不同的
坐标系求出对应的椭圆的方程.
当教师提出对于根式化简，我
们会用到什么技巧呢？学生都
能回答出平方，有部分预习过
的学生，会进一步提出移项后平方，然后再平方就可以. 这时教师追问，直接平方可以吗？
学生通过计算尝试得出，如果直接平方，就会变得相当复杂，
让学生通过类比圆得到求椭圆方程的一般步骤，明确做法，为后面求椭圆的标准方程作铺垫.
把问题抛给学生，通过学生自己的思考，使学生能明确为什么要这样做.
让学生通过尝试比较得出推导方法的优劣，突破难点.
《2.2.1 椭圆及其标准方程（1）》 教学设计 深圳科学高中 唐金波
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问题6：观察下图，你能从中找出表示a，c，22ac-的线段吗？并且进一步整理上式让其更简洁和美观.
令22bac=-，上式就是
22
221(0).xyabab
+=>> 由曲线与方程的关系，这就是焦点
在x轴上的椭圆的标准方程.
有部分学生可能想用第二种或第三种建系方法来推导椭圆的方程，教师给予鼓励并分组实施. 然后通过推导过程让学生自己比较此种建系方法所得椭圆方程的优劣.
思考：如果焦点F1，F2在y轴的椭圆，且F1，F2的坐标分别为F1(0, -c)，F2(0, c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程.
22
2
21(0).yxabab
+=>> 观察椭圆图形及其标准方程，你能得出它们之间的相同点和不同点吗？ （1）两种标准方程中，都有a>b>0； （2）椭圆的焦点由标准方程中分母大的确定；
（3）a，b，c始终满足2
2
2
cab=-.
很难化简. 此时可让学生上白
板上板书推导过程. 教师可以演示化简过程，比较两种方法的优劣.
通过问题6，学生可以经过自己的观察、发现a，c，22ac-的焦点三角，从而自然地想到引入22bac=-，达到了化简的目标.
通过分组，利用第二种建系方法的学生也可以推导出椭圆的方程，但是会觉得计算比较复杂，方程不如前面一种的美. 此时教师提出不同的建系会得到椭圆不同的方程.
通过思考和之前的推导过程，学生很容易得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程.
学生观察椭圆的形状与坐标轴的关系，比较总结出两种标准方程之间的相同点与不同点，然后填表总结.
把问题直接抛给学生，从而自然地把方程化简到标准方程的形式.
椭圆的两种标准方程具有非常好的对称性和优美的结构，借此机会渗透数学之美，培养学生的数学兴趣.
《2.2.1 椭圆及其标准方程（1）》 教学设计 深圳科学高中 唐金波
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练习
根据下列椭圆方程，写出a，b，c
的值，并指出焦点的坐标.
（1）
221,106xy+=（2）22
1.1610
yx+= 学生迅速完成
熟悉椭圆
的两种标准方程.
例题
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0),(2,0)-，并且经过点
(0,6)，求它的标准方程.
变式（1）若例1中椭圆的焦点不变，并且经过点(5,0)-，求它的标准方程；
（2）若例1中椭圆的焦点不变，并且经过点53(,)22
-，求它的标准方程.
例1中学生可以观察出点
(0,6)为椭圆与y轴的交点，从而直接得出6,2bc==，于是出得椭圆方程. 变式也可
以通过定义法，待定系数法分别计算出答案.
让学生掌
握用不同方求椭圆的标准方程.
思考 思考 在圆224xy+=上任取一点P，过P点作x轴的垂线段PD，D为垂足，M为PD上一点. 点P在圆上运动，当
12MDPD=时，M的轨迹是什么？为什么？
变式（1）当
1
3
MDPD=时， M的轨迹是什么？
（2）
(01)MD
kkPD
=<<时， M的轨迹是什么？
学生通过设点求出M点的轨迹方程，从而从另一个角度认识椭圆：椭圆可以看成是压扁的圆.
开阔学生的眼界，
从不同的角度理解椭圆.
总结 通过这节课的学习，你有哪些收获？请同学自己谈谈在知识、数学思想方法、技巧等方面学到了哪些新东西？ 学生回忆整节课的过程，
对其中涉及的数学知识、数学
思想和方法及感受进行总结. 让学生学会总结，欣赏数学之美. 板书
设计
2.2.1椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义 例1
2. 椭圆的标准方程 例2
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
