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视频标签：空间向量,坐标运算
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视频课题：人教B版高中数学选修2-1第三章3.1.4《空间向量的坐标运算》首都师范大学附中
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课题 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
教学目标
1、在平面到空间向量运算坐标化的扩展活动中，掌握空间向量的坐标运算，实现向量运算体系的再认识；
2、通过向量的坐标运算获得空间向量平行和垂直条件的过程中，体会类比、数形结合和特殊到一般的思维方法；
3、在探究向量由平面到空间的推广的小组合作学习中，体会向量的科学和应用价值，提高学生学习数学的兴趣，培养数学运算、直观想象的数学核心素养.
教学重点 空间向量的坐标运算、平行和垂直条件知识的形成. 教学难点 空间向量的坐标的确定和公式的作用. 教学方法 启发探究式 教学过程 一、 知识回顾
在平面直角坐标系xOy中，观察给定的向量OA，起点O(0,0)，终点A（3,2）, 分别取与x轴、y轴同方向的单位向量 ji,构成该平面的一组单位正交基底{ji,} ，你能否将OA在向量ji,方向上分解，写出线性表达式
OA = ，
按照向量的坐标定义得到向量OA的坐标：OA =
师生活动
教师从回顾必修4 平面向量的知识结构开始，对应选修2-1所学空间向量的知识，体会教材的系统化和知识的体系化，关注教材的同时，也兼顾学生已有知识认知，从学生熟悉的知识出发，引导学生思考向量的概念、平面向量基本定理、向量在正交单位基底下的坐标表示等知识
引导学生思考在学完空间向量的概念、运算和基本定理之后继续研究的问题，提出知识形成问题1关于空间向量如何用直角坐标表示的问题， 设计目的
引导学生迅速进入课堂学习的状态，激发学生的学习积极性，尝试类比学习的方法，体会数学知识之间的相互联系，调动学生的数学思维活动。
y x 2 1 3
j
O 1 2 iA
二、知识形成
【探究活动一】空间向量的直角坐标定义及运算
问题1：思考在空间直角坐标系 Oxyz中，
)0,0,1(点A，)2,3,0(点B，)2,3,1(点C,你能否画出向量OA、OB、OC，并尝试类比出平面向量坐标的定义，得出这三个空间向量的坐标表示..
类比试一试
空间向量的直角坐标定义：
在空间直角坐标系Oxyz中， 分别取 作为空间向量的一组单位正交基底 ，对于任意空间向量p，按照空间向量的分解定理，存在唯一有序是数组 ，使得p= ，把 就叫空间向量p的坐标.
师生活动
教师提出四个问题，由浅入深引导,给学生参与的机会；学生积极思考，探究并回答问题. 设计目的
回顾二维直角坐标系下平面向量的坐标定义，由学生熟悉的问题层层递进，引导学生类比想到三维空间直角坐标系，利用空间向量分解定理：如果三个向量kji,,不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组,,xyz，使 kzjyixp
。得到空间向量的坐标定
义.是对必修2中空间向量直角坐标系再认识，也是对向量的坐标表示的再认识，进而为研究空间向量的坐标运算和向量平行垂直条件的探究打下铺垫.
问题2： 定义了平面向量的直角坐标表示后，就可以用坐标来表示平面向量的相关运算.
那么，我们学会了空间向量的坐标表示，你觉得空间向量的运算是否也可以坐标化呢？
y
x
2 O 1 3
2 z
A 1
平面向量的直角坐标运算 类比 空间向量的直角坐标运算 若
),(11yxa ，),(22yxb 若 ),,(111zyxa ，),,(222zyxb
ba ba a
ba
【探究活动二】空间向量平行和垂直的条件
问题3：将向量用坐标表示后，可以将几何问题代数化，便于运算和分析，同时用运算的结果可以刻画研究对象之间的特殊位置关系，几何中平行和垂直问题就是我们经常研究的问题. 设空间向量
),,(111zyxa ，),,(222zyxb
共线的坐标表示 a//b)0(bab ； 垂直的坐标表示 ba ；
师生活动
教师提出问题3，引导学生合作交流；学生积极思考，踊跃尝试类比的过程，展示研究的成果.. 设计目的
设计目的是给学生一个将平面向量的坐标运算相关知识的搜索与整合的过程，所学知识有较整体的认识，然后给出小组合作交流的问题，让他们在合作中体会互助在解决问题时的重要性，类比的过程是本节课的重要的教学思想方法，关注知识的形成过程，对于结论的推导过程可以根据学生的认知水平合理掌握控制，选取有代表性的结论引导学生课下研究推导，由于有【探究活动一】中问题的铺垫，学生应该能想到回归到向量坐标的定义然后再进行推导，可以引导学生探索研究.
小组合作得出：空间向量坐标运算、向量平行或垂直的条件
三、 知识应用
例题1、已知空间中)0,0,1(点
A，)2,3,0(点B，)2,3,1(点C 求： OBOA， AB ， 2BC， OBOA,
设计目的
以探究活动一中问题1为基础，进一步体会空间向量坐标的定义，会运用空间向量的坐标运算完成向量的加法、减法、数乘向量和向量的数量积运算，理解向量的坐标和向量的起点和终点的坐标之间的联系和区别.注意引导学生体会向量运算体现的几何特征，以及向量的坐标运算中体现的代数方面运算的快捷，并将两者有机结合，引导学生体会数形结合的思想方法. 例题2、已知)0,1,1(a，)1,1,1(b，
求向量n, 使得.且,bnan
设计目的
探究如何求得一个与已知两个不共线的向量均垂直的空间向量，学会思考分析问题的方法，进一步体会空间向量垂直的等价条件，为后面学习平面的法向量以及空间向量在立体几何问题中的应用做好准备.
四、课堂小结
引导学生回顾本节课学习过程，谈谈他们的收获：学到了哪些数学知识？哪些研究问题的方法？所学知识有什么价值？
教师在教学过程渗透向量运算的意义以及向量在学科和相关学科的价值： 五、思考作业
请你查阅必修2中2.4空间直角坐标系、必修4第二章平面向量知识，思考所学知识之间的相互联系，进一步体会类比学习的方法，谈谈你对向量坐标运算的认识和学习感受。
开放性作业的设计，引导学生发现学习知识间的相互联系，提高学习数学的方法，将学习延伸到课外，并且学会表达自己的感受，提高表达的能力。
六、自我小测
1、已知空间直角坐标系
kjiO,,;，写出下列向量的坐标： （1）kjia543 （2）kjib352 （3）kic8
（4）jid3
2
21
（5）ie8
2、判断每对向量是否平行？
（1）)8,0,0(),2,0,
0( （2）)2,0,8(),1,0,4(
3、 已知)0,1,
1(a，)1,1,0(b，)1,0,1(c，bap，cbaq2，
求：p，q，qp.
4、 选修2-1课本93页习题3-1A组第6题
七、板书设计
课题：3.1.4 空间向量的坐标运算
知识结构回顾 【探究活动一】 例题
空间向量的直角坐标定义及运算 【探究活动二】 知识小结 空间向量平行和垂直的条件
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