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视频标签：导数的概念
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视频课题：人教A版高二数学选修2-2 1.1.2导数的概念-贵州省优课
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教学基本信息
课题 《导数的概念》 学科 高中数学
学段：选修2-2
年级
高二
教材
书名：普通高中课程标准实验教科书 出版社：人民教育出版社 出版日期：2007年2月
指导思想与理论依据
概念是反应一类事物的本质属性的思维形式，是数学思维的一个基本单位，概念的掌握一般是通过概念的形成和概念的同化。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反应形式，即一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象力的前提。许多数学概念需要用数学符号来表示。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。
在上述理念指导下，本节课的概念从实际问题出发，在对具体问题的解决过程中，让学生体验概念的形成过程，遵循学生的认知规律，注重提高学生的数学思维能力。
教学背景分析
教学内容：
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，这一小节分“变化率问题”、“导数的概念”、“导数的几何意义”三个部分展开，大约需要3个课时，本节课是第二课时的内容。
《普通高中数学课程标准》指出：微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开创近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有及其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数含义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。
导数的概念对函数知识的深化，为以后研究导数的几何意义及其应用打下必备的基础，是我们今后学习微积分的基础，具有承前启后的重要作用。同时，导数在物理学、经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
基于此，确定本节课的教学重点是导数概念的形成。 学生情况：
学生已较好地掌握了一些函数的基本性质，函数的平均变化率以及高一物理学中平均速度、瞬时速度，并累积了大量的关于函数变化率的经验；另外，高二年级的学生思维较活跃，并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度，这位本节课的学习奠定了基础。
由于瞬时变化率就是导数，又是用平均变化率“无限接近”进行研究，而“无限”是非常抽象的，是学生首次接触，要求学生既要具备一定的直观感悟能力，又要具有较高的抽象思维能力，这是本节课学习必备的认知基础。
基于此，确定本节课的教学难点是导数概念的理解。 教学方式：
本节课采用启发讲授，小组合作探究，类比学习等教学方法，引导学生在形成导数概念的同时，体会数学学习的一些常用方法，如从具体到抽象，从特殊到一般，类比等。
教学手段：
多媒体、geogebra动画演示、希沃授课助手软件投影 技术准备
制作PPT、geogebra软件、希沃授课助手软件
教学目标
1、通过求运动物体的瞬时速度和切线的斜率，让学生体会引入导数概念的必要性，了解导数概念的实际背景，知道函数的瞬时变化率就是导数； 2、能根据导数的定义，求一个简单函数在某点处的导数；
3、在概念形成的过程中，培养学生的抽象思维能力和几何直观能力。
4、通过课前收集牛顿、莱布尼茨资料，了解相关的数学史，激发学生对数学史的兴趣 教学过程（表格描述） 教学阶段 教师活动
学生活动 设计意图
课前安排预学
课前安排学生预学本节知识，阅读课本61页《走进微积分》，并上网查阅牛顿、莱布尼茨生平简介，以及他们创立微积分的起始问题是什么？有何差异？
让学生将上网查阅的资料做成word文档并打印出来
通过查阅资料（数学史的发展），让学生了解导数产生的背景，激发学生对数学史的兴趣。
引 入 新 课
同学们，你们的课前任务落实得怎样呢？哪个小组可以将你们的成果给我们展示一下？（选一个小组的成果，用希沃软件展示给大家看，提出两位数学家创立微积分的起始问题）
学生将收集的资料上交给老师
引出本节课的思路：从两个实际问题----求瞬时速度和切线斜率入手研究导数的概念
概念的形成
1. 求自由落体物体的瞬时速度
例1、已知物体做自由落体运动，运动方程为2
)(2
1gtst
，求物体在t=2s时的瞬时速度。（其中
2/10smg）
数据如下表： 时间区间 间隔t
平均速度
v
21.9， -0.1 19.5
21.99， -0.01 19.95 21.999， -0.001 19.995 21.9999， -0.0001
19.9995
21.99999，
-0.00001 19.99995
... ...
...
时间区间 间隔t 平均速度
v
2.12， 0.1 20.5
2.012， 0.01 20.05
2.0012， 0.001 20.005
2.00012， 0.0001 20.0005
2.00001
2，
0.00001 20.00005 前三组同学计算
2s前的三个区间内的平均速度，后四组同学计算两秒后的三个区间的平均速度
区间t22，上的平均速度：
t
ssvt
）
（2)2(=205t
（可以将时间间隔代入上式计算
平均速度，计算
更加简便。）
通过计算2s后和
2s前的6个区间
的平均速度猜想
以下几个区间的
平均速度
学生小组合作、
探究后抽取小组代表展示其讨论
结果 ①
问题具体化，学生在计算的过程中感受逼近的趋势
通过已知区间的平均速度数据特征猜想其他区间的数据特征，进一步体会逼近的思想
学生在小组合作交流中，经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会瞬时速度的含义
根据上述表格提出问题： 1、当t 趋近于0时，平均速度v
有什么样的变化趋势？
2、运动物体在2s时刻的瞬时速度是多少？理由是什么？用数学式子
表示这个过程. 3、运动物体在 时刻的瞬时速度怎样表示？
总结上面解决问题的方法。 再将这个过程一般化，公式化。 （与学生一起完成）
ttsttsvxt)
()(lim
0
00
0
2、 求 切 线 的 斜 率 例2、求抛物线 2
yx 在点
(1,1)P 处的切线方程。
图1
图2
那究竟怎样定义曲线的切线呢？
老师边讲边画:圆的切线动一动，一不小心就变成割线，这样一个公共点就一分为二，变成两个公共点！反过来，割线和圆的两个交点，如果慢慢靠近，直到合二为一，割线就变成了切线！
（用geogebra动态演示这个过程）
通过割线找切线，具有一般性吗？能用来找其它曲线的切线斜率吗？
思考：
1、初中我们是怎么定义圆的切线的？
2、怎样求抛物线的切线？
3、指出图1中的虚线是该抛物线的切线吗？
4、图2中的直线是不是曲线的切线？
模仿这个过程，通过实验观察：过抛物线上一点P和点Q作割线，再让Q向P靠拢，当Q和P重合的时候，割线就变成了切线。 仿照求瞬时速度。用字母表达这一过程。
② 比较①、②两个式子，看看有什么共同特征？
提出问题，激发学生
的求知欲
通过观察图形，让学生得到矛盾，从而寻找新的解决方法。
引导学生体会用割线求曲线的切线的过程
xxgxxgkx)()(lim0
0
0
给 出 定 义
师生共同写出导数的定义： 一般地，函数y=f(x)在 0xx 处的
瞬时变化是：
我们称它为函数y=f(x)在
0xx处
的导数记作0)(|'0xxyfx或
得出导数的定义
舍弃这两个问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数。
概念理解
利用割线变切线的思路，求抛物线
2yx在点(1,1)P处的切线方程。
动手亲自体验利用割线求切线的方法。学生自主完成，抽取一位同学讲解他的解答过程：
22(1)1PQ
xkx
x
xkx2
201)1(lim
xxxx2lim20)2(lim0
xx
2
体会导数的定义，同时给学生展现自我的机会。
巩
固 练 习
例2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶 等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果在第 x h时，原油的温度
（单位℃ ）为
2
()715(08)yfxxxx
计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
教师引导计算出2h的瞬时变化率，并多媒体演示其书写过程。强调先算平均变化率：
x
y
，后取极限：
xyx0lim
和老师一起完成
3')2(f
独立完成：
)6('f？
并说明其实际意
义。
学生自己演算，老师抽取一名同学的计算过程用多媒体展示，并请该同学上台解说自己的解答过程。
熟悉导数的定义，进一步巩固导数的计算方法
xy
xxfxxfxx0000
lim)()(lim
课堂小结
1、平均速度抽象出平均变化率； 2、平均速度逼近（求极限）得到瞬时速度；
3、割线斜率逼近（取极限）得到切线斜率；
4、瞬时速度、切线斜率抽象出函数的瞬时变化率即导数
5、函数在某点处的导数的定义
教师利用流程图的形式展示给学生看。
师生一起总结本节课内容
知识梳理，帮助学生形成知识脉络，思路更清晰。
布置作业
完成本节内容的固学案
认真完成作业
检查上课效果，学生掌握情况.
本教学设计的特点
1、对教学内容的组合。本节课从两个问题入手，一是物理学中运动物体的瞬时速度，另一个是几何学中的切线的斜率，由它们的共同特征得到导数的概念。既从实际出发，又能激发学生的学习兴趣。
2、两个例子能反应微积分产生的背景。牛顿从运动学的速度问题入手，创立了微积分，莱布尼茨从几何学的切线问题入手，创立了微积分。
3、本节课的教学，充分体现了现代化教学的优势，在教学中，利用PPT辅助教学，提高了教学效率；使用geogebra动画演示图形，不仅直观，而且增加了学生的学习兴趣，希沃授课助手在课堂上的使用可以展示学生的作品，演示PPT更加方便。
4、课前安排学生收集牛顿、莱布尼茨的资料，以及微积分的创立等相关数学史，激发学生对数学史以及本节课的兴趣。
5、教学过程中，学生小组合作探究，上台展示，发表自己的见解，充分体现以生为本的教学理念，学生充分参与概念形成过程、体验过程。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
