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视频标签：函数的单调性
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视频课题：高中数学人教A版版必修1第一章1.3.1函数的单调性-甘肃省优课
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1.3.1函数的单调性与最大（小）值
（第一课时）教学设计
一、教材分析
(一) 教材的地位和作用
从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性。
单调性是函数的第一个重要性质，从知识结构上看，它既是函数概念的延伸和扩展，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数的单调性奠定了基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范作用,它在整个高中数学知识中起着承上启下的作用 (二)教材的重难点
重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性. 难点：引导学生归纳出函数单调性的定义以及根据定义证明函数
的单调性.
二、学情分析
1.有利因素：在初中阶段，学生对函数的单调性已经有了“形”的直观认识，知道用“y随x的增大而增大或减小”描述图像的“上升”或“下降”， 具备一定的观察、类比、分析、归纳的学习能力. 2. 不利因素，甘肃甘南是民族地区，绝大多数学生是民族生，
根据民族生的特点，识记是强项，但逻辑思维水平不高,抽象概括能力不强,推理论证能力也比较薄弱,还需要在单调性定义的形成和用定义证明函数的单调性的过程中进一步培养和加强. 三、教学目标 (一)知识与技能：
1、理解函数单调性的概念。
2、会根据函数的图像判断函数的单调性。 3、能根据单调性的定义证明函数的单调性。 (二)过程与方法：
1、培养学生利用数学语言对函数单调性概念的概括能力。
2.利用函数图像判断函数的单调性，使学生领会数形结合的数学方法。
3、通过用定义法证明函数的单调性，进一步加强学生的逻辑推理能力。
(三)情感态度与价值观：
1.通过学生熟悉的生活背景导入，激发学生学习数学的兴趣。 2.通过问题串的引入，学生积极参与教学活动，获得成功的体验，增强了学生学习数学的信心。 四、教学模式：
(一) 教学模式：四步导学
1.创设情境，导入课题； 2.探索归纳，形成概念 3.实践训练，深化理解； 4.总结反思，提高认识
(二) 模式的基本理念：以学生为主体，注重概念的形成过程和定义
的应用实践。
(三) 模式的基本原则：直观感受，启发引导，巩固训练。 (四) 模式的实施策略：以学生熟悉的生活背景导入，以单调性定义
的形成和应用为主线，按“四步导学法”完成一本节课的教学。 五、教学方法
1.教法：启发引导法、从抽象到具体，从特殊到一般的方法. 2.学法：数形结合法、小组合作探究法、类比法。 六、教学过程：
教学环节 教学内容
学生活动
设计意图 环 节 一
一、创设情境，导入课题
情景1.上图是2016年8月20日在我们甘肃省甘南藏族自治州举行的
“2016早子沟金矿杯甘南藏地传奇自
行车赛”24小时内的气温变化图，请同学们
观察图象，然后思考两个问题。
问题1 怎样描述气温随时间的增大而变化的情况？
问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气 温逐渐升高”这一特征？
学生通过对图像的观察，进行思
考问题1,2.
以学生熟悉的事物为背景提出问题， 激发学生的学习兴趣，为突破难点做好铺垫,从而自然导入课题。
二、探索归纳，形成概念
温故知新 ：由已知的直观图象探究函数单调性的概念 问题1：观察如图一次函数和二次函数的图象，指出上面两个图象在哪个区间是上升的，哪个区间是下降的？
学生回答： 1）函数y=x的图象从左到右上升，即在区间（-∞，+
用提问的方式，引导学生用图形语言和自然语言对函数单调性进行描述，合理设置层次，为揭示函数单调性定义
环 节 二
﹙1﹚y=x ﹙2﹚2yx
问题2;观察2
yx 的图象，换一种角度
分析随自变量x 的变化，对应函数值y 的
变化情况？
问题3：如何用符号语言描述“随着 x 的增大，相应的 y 随着增大”“随着x 的增大，相应的 y 随着减小”
图形语言→文字语言→符号语言
特殊→一般 抽象→具体 感性→理性
1.增函数的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当12xx时，都有
12()()fxfx，那么就说函数f(x)在区间
D上是增函数。
问题4：同学们能否类似地得出减函数的定
∞）都上升. 2）函数2yx在y轴的左侧(-∞,0]下降、右侧（0,+∞)上升.
图形语言→文字语言
在y轴右侧，y随x增大而增大； 在y轴左侧，y随x增大而减小.
任取 x1、x2∈（0,+∞)，
当12xx时，都有12()()fxfx，
任取
x1、x2∈(-∞,0)， 当12xx时，都有12()()fxfx，
问题3：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生
讨论、回答）
的本质做好铺垫。
从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．
引导学生将图像语
言、自然语言转化为符
号语言，把对单调性的
认识由感性上升到理性
认识的高度。
.
把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.
环 节 二 环 节 三
义？（学生讨论、类比回答） 学生回答：略 师生共同得出： 2.减函数的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当
12xx时，都有
12()()fxfx，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
3.单调区间定义：
如果函数yfx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yfx在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做
yfx的单调区间.
三、实践训练，深化理解
例1 下图是定义在区间
5,5上的函数
yfx，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如： ①单调区间是定义域的子集； ②本题中，如果用并集符号，不符合单调性定义； ③本题中，区端点处有意义，那么区间开
通过问题进一步分析概念中关键词的含义，提
升对概念的准确
理解。
学生能够通过函数
图象说出函数的单调区间，加深对函
数单调性概念的理解．分析解决问题
针对学生可能出现
的问题，组织学生
讨论、交流。
例1的解决让学生
学会通过函数图象来判
断函数的单调区间及在
各区间的单调性。
学生进一步理解单
调函数定义，巩固证明单调函数的方法，并谨
慎使用并集符号。
环 节 三
闭都可以． 强调：多个单调区间用“，”或“和”字，不用并集符号“∪” 例2.证明函数()21fxx在R上是减
函数．
证明：任取2121,∈,xxRxx<且, 取值 1212()()(21)(21)fxfxxx
1212
12212121222()2()xxxxxxxx ,021xx<< 0-12>∴xx
∴,0)(-)(21>xfxf即),()(21xfxf> ∴函数()21fxx在R上是减函数
总结证明函数单调性的步骤：
1.取值:任取x1、x2属于给定区间，且
12xx；
2.作差:差12()()fxfx；
3.变形：变形的常用方法有:因式分解、配
方、有理化等；
4.定号:确定12()()fxfx的正负； 5.判断（下结论）:由定义得出函数的单调性。 练习：
1.用定义法证明函数1
yx
的单调性.
2.证明 函数(0)k
ykx
的单调性.
分析：
根据学情分析，在
处理例2时，考虑
到学生对作差后的变形和对因式符号
的判断有一定的难度，教学中，我采
取一边分析，一边板演证明过程的方
法来解决这一难题，然后提炼基本
步骤，强化变形的
方向和符号判定方
法，接着让学生板
演实践。
学生独立完成。教师解答学生遇到的问题。如：区间分别为减函数，是否能将两个区间并起来说是减函数。 学法指导： 1、分区间判断函数的单调性. 2、一般地，作差后要变形到因式的积或商的形式利于判断性质符号.
通过例2，既巩固了函数单调性的概念，也让学生领悟到利用定义证明函数单调性的基本步骤。
练习为了使学生对函数单调性的定义和判断函数单调性的方法有更进一步的理解和掌握。
环 节 四
四、归纳小结，提高认识
1.增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象
从左到右上升，减函数的图象从左到右下降. 3.（定义法）证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判号、下结论。
学生小组合作，交
流展示，教师指导
评价 学生回顾，总结.
以自我小结的形式，回顾与梳理本节知识。可帮助学生自行构建知识体系，理清知识结构，尽快将所学知识内化为素质。
环 节 五 布置作业：
1、课本习题P39页A组1、2（必做） 2、画出函数 的图像，判断它的单调性，并加以证明。（选做）
学生通过作业进行课外反思，通过思考发散
针对我校高一学生素质的差异，采取分层作业，满足不同层次学生的要求。
七、板书设计：
1.3.1函数的单调性与最（大）小值
一. 情景导入 二、概念形成
1.增函数的定义 2.减函数的定义
3.单调函数
三.应用举例 例1
例2
设计意图：加深学生对重点知识的理解和掌握，反馈学生的评价信息。 七、教学反思与评价：
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