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视频标签：函数的切线,与导数
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视频课题：人教A版高中数学选修1-1第三章《函数的切线与导数》北京市通州区潞河中学
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函数的切线与导数
一、教学背景
（一）学习内容分析
本课选自《普通高中课程标准实验教科书·选修2-2》（人教A版）第一章第三节《导数在研究函数中的应用》，导数的几何意义是函数在某点的切线的斜率，教材中并没有给出“极限”的定义，而是通过具体的实例从数、形两方面去体会“极限”的含义. 在教学实践中发现，学生对“切线”这一概念的理解很难一步到位，他们所持有切线表象与切线定义是分离的，而切线与曲线的位置关系的探索，更适合在系统学习“导数的应用”之后进行，以便借助导数工具比较准确地描绘函数的图象、研究函数的性质.
（二）学生情况分析
在本课之前，学生已经学习了导数的概念，导数的几何意义及切线的分析定义，导数的运算，应用导数研究函数的单调区间、极值和最值等.学生虽然学习了切线的分析定义，但因高中教材中极限思想应用不多， “圆的切线”、“圆锥曲线的切线”对学生的认知影响深远，学生对切线的理解并不深入，公共点的个数、切线与曲线的位置关系仍然是学生学习的认知障碍. 二、教学目标
1.通过问题及变式，深入理解切线的概念，尤其是理解“极限位置”的意义；
2.通过对切线与曲线位置关系的探索，体会导数的工具作用及数形结合思想、转化思想应用.
三、教学过程 环节1：求切线方程
教师活动
例1 已知曲线S : 32()331fxxxx,求过点5(,2)3
P的曲线S
的切线方程.
学生活动
求解并交流，求出2y、33yx两个切线方程.
教师活动 强调“过某点的切线”和“在某点的切线”是有区别的，应该先判断已知点是否为切点. 在某点处的切线，这个点是切点；过某点的切线，这个点未必是切点.
设计意图
对典型问题求解，落实基础知识与基本方法.
环节2：追本求源，巩固切线定义 教师活动
请用图形计算器画出曲线S与两条直线，观察图形的位置关系，与圆、圆锥曲线的切线有什么不同？
学生活动
作出图形，发现区别：曲线可以位于切线两侧、曲线与切线的公共点
个数不唯一.
图1
教师活动 函数的切线与圆、圆锥曲线的切线是同一个概念吗？ 学生活动
各抒己见，一些学生认为不是同一个概念. 教师活动
回顾函数切线的概念，并用信息技术演示.
图2
发现它们是一回事，不管是什么曲线，切线都是割线的极限位置.
设计意图 巩固切线的分析定义，强调之前学习的所有切线具有相同的定义，渗透极限思想.
环节3：探究切线与曲线公共点的个数 教师活动
我们求出的2y、33yx两条切线与曲线S分别有几个公共点？ 学生活动
观察机器作出的图形可知，2y与曲线S有1个公共点，33yx与曲线S有2个公共点.
教师活动
无论是画草图还是用机器作图，都只能呈现一部分图形，如何说明再无其它公共点呢？
学生活动
方案一：利用二阶导数分析函数的变化趋势，再利用变化趋势分析公共点的个数；
方案二：构造函数3
2
3
2
()331(33)34gxxxxxxx，
求公共点的个数即求函数()gx零点的个数.
设计意图 运用信息技术，通过观察、归纳“以形助数”，分析几何图形的代数表达，再进行推理、论证，积累基本活动经验.
环节4：变式探究
教师活动
例2 已知曲线S:2()xfxeax，直线l: 1yx （1）直线l与曲线S有什么位置关系？
（2）手绘草图分析直线l与曲线S公共点的个数，并用图形计算器验证；
（3）用代数方法证明上述结论.
学生活动 分析直线与曲线的位置关系、画出草图、代数证明.
设计意图 从“数”入手 ，利用导数工具“以数解形”，提高学生分析问题、解
决问题的能力及知识的综合运用能力.
五、课后反思
本课根据学生的实际情况，围绕“切线”这一核心内容将教学资源有机整合，精选两个例题，综合了切线的定义、切线的求法、导数及二阶导数的几何意义、导数的基本应用等知识，渗透了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.从特殊函数入手，利用信息技术做出图形进行观察、分析、推理、论证，得到一般性的结论，再进行迁移应用，体现了从特殊到一般的研究问题的方法.利用图形计算器画图和印证猜想，突破难点，满足了学生个性化探究的需求.本课是一节高效的专题学习课，有助于学生建构知识体系,提升直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
