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视频标签：瞬时速度,与导数
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视频课题：人教B版高中数学选修1-1第三章《瞬时速度与导数》湖北省 - 黄冈
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《瞬时速度与导数》
教 材: 人教B版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1
一、教材内容分析
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（B版）数学选修1－1第三章第一节的《导数》，《瞬时速度与导数》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念.
导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能.
在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位.它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理.
从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用. 二、学生学情分析
1.导数是对变化率的一种“度量”. 实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在3.1.1小节学习了函数的平均变化率，因此，学生已经具备了一定的认知基础.
2.可能存在的问题：“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t趋于0时，t
h
趋于一个定值. 三、教学目标
1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、解析式抽象、类比等方法体会数学概念的发生和形成.
2
2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导数的概念. 3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴趣. 四、教学重点 函数的瞬时变化率、导数的概念. 五、教学难点 对导数的理解和利用导数解决实际问题. 六、教学策略分析
根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题引导，学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有:
1.利用计算器进行分组合作，取不同的t，计算
t
h
的值. 2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道2t时的瞬时速度以后，类比得出运动员在ｔ＝3时的瞬时速度.同样，在学生探究出运动员在任意时刻的瞬时速度之后，可以归纳出一般函数在任意一点的瞬时变化率.
3.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经平均速度到瞬时速度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时变化率的概念. 七、教学过程设计 （一）设置问题情境
世间万物都处在不断变化当中,认识事物的变化规律,是人类面临的重大课题.数学关注变化着的事物内在的数量关系,特别是变量之间的函数关系.研究函数的变化趋势不仅是现实的需要，而且有重要的理论意义.17世纪，数学泰斗牛顿和莱布尼茨把这种研究提高到一个新的阶段.他们以大量的物理问题和几何问题为背景，研究了函数的平均变化率，引进了一种全新的运算---求导数，进而引进了导数的逆运算---积分.两位巨匠开创性的工作，使前人未能解决的诸多问题，如变速运动的瞬时速度与路程、变力做功问题迎刃而解；同时使许多重大几何问题，如曲线的切线与长度、封闭曲线形的面积、立体体积等也获得圆满解决；并创立了微积分学.三百年来，微积分学不仅对数学，而且对整个人类文明产生了不可估量的影响.
本章导数及其应用,将把同学们引进到一个充满活力的领域,在这里,同学们将领悟辩证的思维方式,
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用微观去驾驭宏观,从变量关系层面去把握事物变化的数学本质,并学会解答现实生活中的许多问题.
设计意图：通过简单介绍微积分的发展史及牛顿、莱布尼茨的成就激发学生学习导数的兴趣.
（二）生活实例，数学探究
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h（t）=-4.9t2
+6.5t+10，求ｔ＝2时的瞬时速度.
问题1：为了研究这个问题,我们给出运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h（t）=-4.9t2
+6.5t+10，那么运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度如何表示？ 问题2：我们先考察ｔ＝2附近的情况.任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以 是负值，但不为0.当△ｔ＜0时，在2之前；当△ｔ＞0时，在2之后.分组合作填写运动员在ｔ＝2附近的平均速度表格.
问题3：在这个表格中，当时间的间隔越来越小时，大家发现平均速度有什么特点？ 学生通过观察发现：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1. 设计意图：通过合作计算，让学生更深刻的感受到数值的逼近.
问题4：要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，能否引进一个量，使其得到简化？ 总结：这个确定的值即瞬时速度，为了更明确的表述趋近的过程,可用极限的思想来表示,即
0(2)(2)
lim
13.1
ththt 设计意图:利用极限思想，将函数表达式抽象化.
时间区间 Δt<0 平均速度
时间区间 Δt>0 平均速度
[1.9,2] -0.1 [2,2.1] 0.1 [1.99,2] -0.01 [2,2.01] 0.01 [1.999,2] -0.001 [2,2.001] 0.001 [1.9999,2] -0.0001 [2,2.0001] 0.0001 [1.99999,2]
-0.00001
[2,2.00001]
0.00001
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问题5：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在st2附近，平均速度逼近一个确定的常数.那其他时刻呢？我们再来研究t=3时的瞬时速度.在下面这个表格中，当时间的间隔越来越小时，大家发现平均速度有什么特点？能不能类比t=2时的瞬时速度，来表示t=3时的瞬时速度呢?
问题6：t=2，t=3是两个特殊时刻，那么运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度又怎样表示?
设计意图:从特殊到一般，让学生直观地理解运动员在任意时刻的瞬时速度.用平均速度逼近了瞬时速度，这都体现了我们数学中无限逼近的思想.
（三）模型建构
问题7：如果将以上问题中的函数用)(xf来表示，那么函数)(xf在0xx处的瞬时变化率该如何表示呢？
引导学生写出)(xf在0xx处的瞬时变化率可表示x
xfxxfxy
xx)()(limlim0000 总结：我们就把这个瞬时变化率称为导数. 导数的的定义：
函数()yfx在0xx处的瞬时变化率称为()yfx在0xx处的导数,记作：0()fx或0
xx
y，即
0
00000()()()=lim
limxxxxfxxfxy
fxxx
y
由对瞬时速度的形成和理解，学生很容易联想到可以用一个词，叫做“瞬时变化率”.用它可以精确的描述函数在某一个点的变化趋势.这体现了类比的思想方法.
设计意图：由平均速度到瞬时速度，再由平均变化率到瞬时变化率，符合学生的认知过程.同时注重对抽象表达式的理解）
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（四）例题讲解
例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种产品，需要对原油进行冷却或者加热，如果在第x h时，原油的温度为)80(157)(2xxxxfy.计算第2 h 与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，说明它们的意义.
设计意图：通过具体实例计算进一步熟悉导数的定义，巩固导数的计算方法，同时总结出导数的一般步骤. 八、课堂小结
1.导数的概念的形成过程. 2.求导步骤：（1）求
x
y
（2）取极限. 3.思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般.
经过我们的探究，我们从生活中的实例到具体的函数，由特殊到一般，运用类比的思想方法，由平均速度逼近瞬时速度，再由平均变化率逼近了瞬时变化率，从而得到了函数在某一点处的导数.导数的思想方法就是通过函数在某一点附近的变化状态，揭示这一点处的变化状态，也揭示函数的本质. 设计意图：整理本节所学的核心概念、基本技能，概括研究方法以及其中蕴含的数学思想. 九、布置作业 课本第82页
A组，练习1，2，3; B组练习1.
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