人教A版高中选修2-1第二章《椭圆及其标准方程》四川省乐山

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视频课题：人教A版高中选修2-1第二章《椭圆及其标准方程》四川省乐山

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人教A版高中选修2-1第二章《椭圆及其标准方程》四川省乐山

《椭圆及其标准方程》教学设计说明

一、教材所处的地位和作用
本节内容是选修2-1第二章圆锥曲线的第二节，主要学习椭圆的定义和标准方程。从知识上说，本节既是对“曲线与方程”的复习巩固又是下一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它既可以类比圆的研究过程和方法，又为我们后续研究双曲线和抛物线提供了基本模式和理论基础。可见，本课具有承前启后的作用。
本节对椭圆定义和方程的研究渗透了函数与方程、数形结合的重要数学思想。在椭圆定义和方程的探究过程中，主张学生积极有效参与，在表达，交流，质疑，反思，探究，迁移，重组，修正，创造的过程中展开学生思维活动，着眼学生发展，还课堂以生命力，还学生以活力。
二、教学目标的确定
在学习本节知识以前，学生已经学习了《直线和圆的方程》，初步了解了用坐标法求曲线的方程的基本步骤，已具备了一定的分析能力、计算能力，概括归纳的能力和语言转换能力。在本节学习中，椭圆定义的归纳、方程的推导化简学生仍会遇到困难，需要老师引导。因此，根据新课标强调的知识与技能，过程与发展，情感态度与价值观目标制定如下教学目标：

掌握椭圆的定义，标准方程，会用定义法和待定系数法求椭圆方程；
培养学生发现，探索的研究能力；通过椭圆定义的形成和标准方程的推导，建立类比化归的数学思想，加强学生的数形结合意识，提高学生的逻辑推理与分析探究能力；
学会主动探究、合作学习、加强团队协作，感受数学的生机和乐趣；在椭圆标准方程的获取过程，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力，在参与中感受数学的严谨性和数学结论的确定性，形成科学的态度。

三、如何突出重点，突破难点
1.教学重点
掌握椭圆的定义，标准方程，理解坐标法的基本思想。采用了学生实验，小组探索，合作发现的方式来突出重点。通过实验→发现→总结→质疑→再实验→再总结→沉淀定义。让学生在实验中探究，在探究中发现。
2.教学难点
椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。采用先做后说，师生共作的方式突破难点。先学生动手，分组讨论分享化简思路及化简过程中的障碍。再由教师引导分析常见思路，平方去根号（直接平方，移项后再平方）的优劣，提出双根号内结构对称时有理化去根号的化简思想，并与平方法对比，优化计算路径。
四、教法设计与学法指导
1.教法设计
采用问题教学法，即老师通过问题诱导→启发讨论→探索结果→归纳总结，具体做法如下：(1).引导学生亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程，通过学生观察，类比，让学生参与知识的获取，归纳，完善的全过程，得到椭圆的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力。(2).由复习巩固出发，问题思考→研究讨论→演算分析→点拨引导→转化化简，得到椭圆在X轴上的标准方程。教师边提问边分析，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会获取知识，攻克困难的喜悦。(3).使用多媒体辅助教学，几何画板，增强动感和直观感，加大课堂信息量，提高学生的学习兴趣和学习效率。
2.学法指导
通过恰当情境，激活学生探索的动机及发现的欲望，让学生动手实践，组内合作，分享思路，主动探究，在积极有效的主动参与中完成知识的自主建构。
五、教学过程的设计与说明
1.教学过程
基本线索：从生活中的几何图形出发认识椭圆图形→通过实验画出椭圆图形→分析图形形成的实质→类比圆的定义思考并归纳出椭圆的定义→建立坐标系寻找椭圆焦点在X轴上的标准方程→初步简单的应用→课后巩固和思考→名人名言结束。
2.设计说明
《课标》对椭圆概念的要求是“让学生经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握它的定义，标准方程，几何图形及简单性质。”同时，《课标》还要求“教师要创造适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识的形成过程。”本堂课的教学设计都是基于这些原因，并围绕着的教学目标，重难点展开。在设计中，力求做到：关注学生的已有知识储备和生活经验，注重新旧知识的有机联系；正确处理数学学科和相关学科的关系，辅之以信息技术；生动呈现知识的发现和发展过程，在问题解决中，通过我+我们的形式获取新知，完善自我，发展自我。

椭圆及其标准方程
四川省乐山第一中学校岑雪莲
一、教学内容解析
1.教材所处的地位和作用：
本节内容是选修2-1第二章圆锥曲线的第二节，主要学习椭圆的定义和标准方程。从知识上说，本节既是对“曲线与方程”的复习巩固又是下一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它既可以类比圆的研究过程和方法，又为我们后续研究双曲线和抛物线提供了基本模式和理论基础。可见，本课具有承前启后的作用。
本节对椭圆定义和方程的研究渗透了函数与方程、数形结合的重要数学思想。在椭圆定义和方程的探究过程中，主张学生积极有效参与，在表达，交流，质疑，反思，探究，迁移，重组，修正，创造的过程中展开学生思维活动，着眼学生发展，还课堂以生命力，还学生以活力。

在高考中的地位：

圆锥曲线在高考中能力要求较高。而椭圆是圆锥曲线中的高频考点，涉及椭圆的定义，直线与椭圆等一系列问题。
二、教学目标分析
1.知识与技能目标：
(1)掌握椭圆的画法和定义；
(2)掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。
2.过程与方法目标：
(1)经历椭圆的形成过程，培养学生发现，探索的研究能力；
(2)通过椭圆定义的形成和标准方程的推导，建立类比化归的数学思想，加强学生的数形结合意识，提高学生的逻辑推理与分析探究能力。
3.情感态度价值观目标：
(1)在定义的学习中通过主动探究、合作学习、加强团队协作，感受数学的生机和乐趣；
(2)亲手尝试椭圆标准方程的获取过程，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。在参与中感受数学的严谨性和数学结论的确定性，形成科学的态度。
三、教学问题诊断分析
1.教学重难点，易错易漏点
教学重点：掌握椭圆的定义，标准方程，理解坐标法的基本思想。
教学难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。
易错易漏点：椭圆定义中2a>2c的条件限制；标准方程中的a和定义里的2a；焦点位置的判断。

学情分析

在学习本节知识以前，学生已经学习了《直线和圆的方程》，初步了解了用坐标法求曲线的方程的基本步骤。对几何图形的认知，学生头脑中虽然有一些椭圆的实物实例，但并没有上升到“概念”的水平。他们渴望将感性认知理性化，渴望通过自己的动手，观察，分析，得到概念，通过对比产生顿悟。在学习上，学生已具备了一定的分析能力、计算能力，概括归纳的能力和语言转换能力。他们思维比较活跃，喜欢动手，乐于思考。但是，对于理论性的知识学习兴趣不是非常大，对繁琐的计算也不能较好的完成。
四、教学支持条件分析
硬件：多媒体课件，细绳，绘图纸。
软件：对生活中各种不同几何图形的认识；对用坐标法研究几何问题有初步的了解；掌握坐标法求曲线的方程的基本步骤；对圆的图形与定义的正确理解和掌握。严谨的学习态度，浓厚的学习兴趣和过硬的运算能力。
五、教学过程设计

教学环节	教师为主活动	学生为主活动	设计意图
创设问题情境引入课题	*【启发诱导】* 从新知是生长在旧知的基础上出发，引导学生思考学习了圆接下来将要学习的几何图形? *【观察课件】* 观察一些图片，从学生刻印在脑海中的原有直观材料出发，得到“椭圆”的直观定义。【生活感知】观察圆柱形水杯，随着倾斜程度不同水面形状的变化 *【实验】* 圆和椭圆形成的两个实验。引出课题——椭圆及其标准方程。	感知生活中圆与椭圆的联系和区别学生以组为单位协作完成实验，教师巡视指导。并让其中两组同学黑板上分享实验成果。	通过对生活中接近圆的图形的举例，激发学生的探究心理，让学生明白新旧知识的联系。通过实验观察，动手操作，让学生从形上认识椭圆，并体会实验的本质，为定义学习做好铺垫。
形成概念	用现代多媒体技术将实验重新呈现给学生，并让他们从图形的形成过程揭示变中的不变量。 *【提问】实验一:圆的形成是否能揭示出了圆的定义？【提问】那么从实验二中能否类似的归纳出椭圆的定义呢？预设：这里学生通常会忽略掉距离和与\|F₁F₂\|的大小限制，而直接给出，平面内到两定点F₁,F₂的距离和等于定长的点的轨迹。【提问】现在回到黑板上两组同学们分享出来的椭圆，观察它们的形状是否相同？如果不同是什么在影响？怎样影响？【提问】*F₁,F₂之间的距离可以无限制的增大吗？ *【提问】通过刚才的分析，同学们是否发现刚才归纳的椭圆定义的问题？经概括总结后得到：【多媒体】* 平面内与两个定点F₁,F₂的距离之和等于常数（大于\|F₁F₂\|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F₁,F₂叫做椭圆的焦点，两焦点的距离\|F₁F₂\|叫做椭圆的焦距。通常记：\|MF₁\|+\|MF₂\|=2a; \|F₁F₂\|=2c 注意：2a>2c 轨迹为椭圆 2a=2c 轨迹为线段F₁F₂ 2a<2c 无轨迹	预设：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。回答：形状不同；F₁,F₂之间的距离；距离越小越接近于圆，距离越大越扁平。回答：不能。记笔记，认真思考。	以实验为载体，让学生在做中学习，给他们提供一个自主探究获得知识的机会。使学生经历概念的生成和完善过程，提高概括能力和语言表达能力，加深对知识的理解和掌握，养成严谨的科学作风。
*标准方程推导*	形上认识了，就该从数的角度去解析椭圆，接下来我们该研究椭圆的方程。 *【提问】要研究方程，我们首先要把椭圆放入坐标系中，如何放呢？【多媒体】* ①建系，设点：以F₁F₂所在直线为X轴，以线段F₁F₂的中垂线为Y轴，建立坐标系。设\|F₁F₂\|=2c，c>0,M(x,y)为椭圆上的任意一点，则F₁(-c,0)、F₂(c,0)．又设M与F₁，F₂的距离的和等于2a． ② 集合表示：由椭圆定义得：动点M的集合为：P={M\|\|MF₁\|+\|MF₂\|=2a,\|F₁F₂\|<2a}③ 坐标化：动点M坐标的方程表示： ④ 化简： *【思考】*如何化简上式？预设：学生会选择直接平方或移项后平方的化简方式。且在给定的时间内不一定能化出结果。多媒体分享：有理化（注意：双根号内式子的结构特征）和平方相结合消根号: 从方程形式的简洁，易记出发引导学生引入b,最终整理方程最终得到： ⑤由曲线和方程的关系知，方程为椭圆的方程。我们称为焦点在X轴上的椭圆的标准方程。	预设：以F₁F₂所在直线为X轴，以线段F₁F₂的中垂线为Y轴。学生以组为单位讨论出化简方案，尝试化简。各组交流化简过程中遇到的问题和最终的解决方法。分享化简结果。观察方程的特点，得出标准方程。记笔记	让学生认识到坐标法研究曲线的一般方法和思路。强调恰当坐标系在求方程中的重要性。清楚不同坐标系对方程，几何特征的影响。让学生在协作，交流中成长。学会在尝试中发现问题，分析问题，解决问题。既提高学生的学习能力，又培养严谨的数学演算习惯。
*知识运用*	例：已知圆O:(x+1)²+y²=16, 圆内一个定点F(1,0),A是圆上任意一个点,线段AF的垂直平分线l和半径OA相交于点M，当点A在圆上运动时, 求动点M的轨迹以及轨迹方程? 预设：学生在用定义判断曲线类型时会忽略掉：2a>2c或是仍然选用求曲线方程的方法求解。几何画板展示本题,从圆中衍生出椭圆的动态过程。	思考，组内交流，解答，分享结果。	本题是教材课后作业改编，目的：加深学生对椭圆定义的理解与运用，学会用椭圆定义求曲线类型。形象展现新旧知识的有机联系，起到点题的作用。
*归纳小结*	【总结】 1.椭圆的定义； 2.焦点在X轴上的椭圆的标准方程。	学生小结归纳，不足的地方老师补充说明。	让学生自己小结，不仅仅总结知识，更重要的是总结数学思想方法，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。
*作业与思考*	【作业】1.教材P42 1，3，4 2.推导焦点在Y轴上的椭圆的标准方程【思考】a,b,c的几何意义？		既起到巩固新知的作用又为下次课做好铺垫。
结束	最后用雨果的一句话结束本节课的学习：人并不是只是一个圆心的圆圈；它是一个有两个焦点的椭圆，事物是一个点，思想是另一个点。		数学课不仅要注重智慧的获得，还要注重情感的发现。

六、目标检测设计
《课标》要求“教师要创造适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识的形成过程”
教学中通过：学生直观感知生活中的椭圆图形；亲自动手实验画出圆与椭圆；教师逐步引导从实验中提取不变量，从圆定义出发用类比的方法得出椭圆定义并引导学生完善定义；在标准方程的化简中对比不同化简方法的优劣；遇到困难时的鼓励和引导；发现问题解决方法时的表扬和肯定，来完成本节课的三大教学目标。

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