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视频课题：初中数学人教版八年级上册13.3.3 实验与探究《三角形中边与角的不等关系》湖北省优课
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初中数学人教版八年级上册13.3.3 实验与探究《三角形中边与角的不等关系》湖北省优课
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
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三角形中边与角之间的不等关系
（义务教育课程标准实验教科书《数学》人教版八年级上册第十三章·实验与探究）
湖北省宜昌市第十四中学 华容
【教学目标】
1、知识与技能：通过实验操作和推理论证，进行三角形的边角不等关系探究，发展学生的分析 问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略。 2、过程与方法：经历"观察→猜想→验证→证明"等一系列活动，培养学生实验探索、观察推理 和解决问题的能力，提高应用数学的意识，积累数学活动经验。
3、情感与态度：提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学
习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验，渗透数学“转化”的思想。
【教学重点】：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程。
【教学难点】：结合实验与探究，将折纸的无意操作与辅助线的有意添加有效结合。 【教具准备】：三角形卡纸数张、剪刀、三角板等。 【教学过程】
一、温故知新 问题导入
1、知识铺垫：
前面我们学习了一种特殊的三角形（出示图片）：等腰三角形，它是生活中常见的一种三角形，请问：等腰三角形是一个轴对称图形吗？它有哪些性质？（动画演示）
如图1，沿着等腰三角形底边上的高所在直线折叠，左右两边的部分能够完全重合，得到了等腰三角形“三线合一”的性质。
2、问题导向：还有其他的性质吗？等腰三角形中等边所对的角相等；反过来，等角所对的边相等。那么，在一个三角形中，如果两条边不相等，那么：这两条边所对的角相等吗？哪个角大？
图1
图2
《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计
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图3
3、方法回顾：在探究“等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。（板书课题）
【设计意图】类比等腰三角形的边角关系猜想三角形中边与角的不等关系，既对所需知识进行合理复习，也为后面学生添加辅助线构造基本图形奠定了基础. 二、实验操作 知识探究 （一）观察图形，提出猜想 如图3，在△ABC中（AB＞AC），
通过观察图形：在⊿ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们估测得到∠C大于∠B，故提出猜想：大边对大角.
【设计意图】首先通过观察图形发现：在一个三角形中角之间的不等关系，然后根据研究几何问题的一般思路和方法,体会“观察—猜想—验证—推理证明”的过程. （二）动手操作，验证猜想
请同学们在观察猜想的基础上，利用三角形纸片进行动手操作，验证猜想. （每位学生在独立操作的基础上，进行小组内交流，教师巡查，之后进行小组展示）. 通过动手操作，验证方法如下：
测量法：用量角器测量直接得到∠C＞∠B.（给出图3中∠B和∠C的度数.）
叠合法：1、如图4，沿BC边上角平分线折叠：作∠BAC的角平分线AD，将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.
2、.如图5，沿ＢＣ边的垂直平分线折叠.
3、如图6，沿BC边上的高折叠：作BC边的高AD,将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.
追问：通过折纸，如何说明∠C > ∠B？
通过几何画板演示验证猜想的正确性,并归纳猜想.
猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）.
图5
图4
图6
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图7
图8
【设计意图】培养学生的动手操作能力,为后面证明时添加辅助线作铺垫. （三）推理论证，证明猜想
通过折纸和几何画板验证了猜想是正确的，现在我们来进行规范的几何推理证明（启发学生独立思考、小组合作，完成一题多证）.
根据文字命题画出图形，写出已知、求证，引导学生思考：在动手操作过程中，通过折纸有哪些添加辅助线的方法？ 实验与探究1：
已知：如图7，在△ABC中，AB>AC . 求证：∠C > ∠B.
证法一: 证明：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在边AB上截取AE，使AE=AC,连接DE.
∵AD为∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△EAD和△CAD中 ∵
∴△EAD≌△CAD（SAS）∴∠C=∠3（全等三角形的性质） 又∵∠3为△BDE 外角 ∴∠3>∠B. ∴∠C>∠B（等量代换）.
其它证法：如图8，作△ABC中∠A的平分线，
与边BC交于点D.在AC延长线上截取AB’，使AB’=AB，连接B’D .
证法二：如图9，过A作BC的垂线，垂足为D，在BD边上截取DC’，使DC’=DC，连接AC’ . 小结：沿角平分线所在直线翻折，使∠B或∠C转移位置，利用三角形外角的性质证明了∠C > ∠B.
归纳结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大. （简写成：在一个三角形中，大边对大角）.
符号表示：∵在⊿ABC中，AB>AC ∴∠C > ∠B在“大边对大角”的探索过程中，你有何收获？ （1）折纸是一种轴对称变换.
（2）利用等腰三角形和轴对称的性质截长补短，是重要的证明全等的方法.
从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法。
类似地，应用这种方法，你能说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大”吗?
实验与探究2：如图12，在△ABC中，如果∠C>∠B，那么
我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上， 即∠1=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程.
归纳结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大（简写成：在一个三角形中，大角对大边）
【设计意图】通过独立探究、小组展示，提高学生表达能力和归纳能力，增强合作交流的意识，逐步实现由实验几何到论证几何的过渡，同时实验操作为辅助线的添加进行了有效铺垫，培养学生类比、转化的数学思想. 三、实践应用 知识再现
利用上面两个结论，回答下面的问题： 1.如图13，在△ABC中，已知BC>AB>AC, （1）则∠A、∠B、∠C大小关系为 .
（2）若∠A为锐角，那么△ABC 是锐角三角形（填”一定”或”不一定”）. 2.如图14，在Rt△ABC，哪一条边最长？为什么？
【设计意图】通过组织学生展示、学生点评，引导学生运用三角形不等关系解决一些具体的数学问题，符合学生的认知特点，既能突破教学难点，增强学习的兴趣与信心. 四、发展思维 知识延伸
借鉴上述三角形中边与角不等关系的推理论证的过程及结论，我们来解决一个几何问题。
图14
图12
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例：如图15,在△ABC中，AD是BC边上的高， 且垂足D在BC上.BD>CD，求证:AB>AC. 证明：(方法一)在DB上截取DE=DC,连结AE. 则由垂直平分线的性质知EA=AC
∴∠1=∠C.
∵∠1为△AEB外角∴∠1>∠B. ∴∠C >∠B.
∴AB> AC (大角对大边)
（方法二）：如图书16，如果在DC的延长线上截取DF=DB, 连结AF，那么仍然很容易证得结论。
【设计意图】通过例题一题多解，让学生充分巩固和掌握利用对称及图形变换添加辅助线的方法以及利用“大角对大边”证明边不等关系的方法，更重要的是学生通过具体问题的分析，体会到了前面折纸操作对不等关系辅助线添加的迁移转化作用，增强学生思维的广度与深度. 五、回顾思考，知识梳理
1、回顾思考：（1）这节课对你来说有哪些收获？谈谈你的体会。 （2）通过这节课，你学会哪些数学方法？
［设计意图］通过反思，让学生对本堂课的整个知识结构有更清晰的了解。在学生思考讨论的过程中进一步培养他们的总结归纳能力. 2、运用拓展及作业 （1）整理学案
（2）如图17，在△ABC中，AB>AC.AD是角平分线。 求证:BD>DC
证明：延长AC到E，使AE=AB,连结DE. ∵∠1=∠2.AD= AD ∴△AED≌△ABD. ∴∠E=∠B.ED=BD. 易知∠ 3 >∠B.∴∠3 >∠E
∴ED>DC(大角对大边)即BD>DC.
说明：如图18，如果在AB上截取AF=AC.连结DF.那么同样可达到证题目的，不妨一试。 （3）如图19,在△ABC 中，AC>AB,AM 是 BC 边 上 的 中 线。
图15
图16 图18
图17
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图20
图21
求证: ∠1>∠2.
证明:延长AM到D.使MD=MA.连结BD. ∵∠3=∠4，MB=MC. ∴△DMB≌△AMC, ∴DB=AC,∠D=∠2, ∵AC>AB,∴DB>AB,
∴∠1>∠D(大边对大角)，即∠1>∠2.
解决边与角不等关系的基本策略：借助轴对称变换实验探究，利用截长补短类比转化
【课后反思】
本节课以“自主、合作、探究”的现代教育观为指导思想，体现了教学理念和教学设计的高站位与新视野，采用数学实验活动课的教学形式，逐步实现从实验几何到论证几何的过渡，借助多媒体等信息化手段，通过自主探究、小组合作、小组展示等多种形式实现教与学的双向多维交流，充分体现了学生主体作用的发挥，展现了低起点、快节奏、大容量、高效率的数学课堂的精彩！
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
