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视频标签：两角差的余弦公式
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视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_河北省 - 邯郸教学设计
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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_河北省 - 邯郸教学设计
§3.1.1 两角差的余弦公式
教学目标：
-
引导学生探索、发现、推导“两角差的余弦公式”，并强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力以及逻辑推理能力。
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能熟练运用两角差余弦公式进行正向、逆向的的求值、化简和证明。
教学重点与难点：
重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角差的余弦公式，为后面三角函数的十一个公式的推导打好基础。
难点：两角差余弦公式探索过程的组织和适当的引导。
教学过程：
结合热点时事——钓鱼岛问题，命制题目，在上课之初调动学生的兴趣。
某天，我方海监船正在与钓鱼岛C相距30海里的A处巡逻，发现日方船只出现在D处，如图所示：∠CAD=45°,∠CAB=15°,∠ABD=90°，请你设法计算出日方船只距离我海监船的距离AD.
解：AD = 60 cos15°
在此处要求学生进行分组讨论。
在讨论过程中，学生有可能想到其他方法，比如：利用平面几何知识，过C作AD的垂线，垂足为E，则得到两个特殊的直角三角形。可利用边角关系求出AD。但此方法和本次教学内容不符，因此，对提出这类方法的同学及时进行鼓励、表扬，并引导学生回到原来的知识探索过程中。此题需要用到cos15°，由此展开新课。
思考：不借助计算器如何求cos15°的值？
cos15°=cos（60°－45°）＝ cos60°－ cos45° ?
显然是不成立的。等号左侧大于零，而右侧则小于零。
这里15°的表示方法有很多，可以表示为60°－45°，45°-30°，还可以是
，甚至是
等等，要把学生引导到前两种情况中。当学生提出后面的情况时，应对学生提出表扬，并指出后面的表示是借助倍角公式和半角公式来解决问题，但倍角公式和半角公式推导的理论依据是今天正在学习的两角差的余弦公式。
思考：cos（60°-45°）到底应该用45°和60°的三角函数值怎样表示？更一般地，cos(α-β)与sinα,cosα, sinβ,cosβ之间的具体关系能找出吗？
提出问题：我们都知道，数形结合可以让问题更直观，更容易让我们找到问题各部分的联系，从而形成解题思路，那么三角函数的“形”能不能用来解决这个问题呢？三角函数的“形”又是什么呢？
这里学生可以翻课本，很容易找到三角函数线是三角函数“形”的体现。
三、数形结合，探求新知：
首先用三角函数线来推导。
用三角函数线推导公式时，辅助线的添加对学生的思维有很高的要求，绝大多数学生的思维没达到这个高度。所以这个内容以我制作的课件为主，学生做到理解就可。
即
教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角
是有条件限制的，即
均为锐角，如果要说明此结果是否对任意角
都成立，还要做不少推广工作，这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后作为思考题尝试一下。
在这里让学生明白推广的工作很繁琐，学生就自然会想有没有更简单，更严谨的证明方法。引用我国著名数学家华罗庚曾说过的一句话:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”让学生对数与形的特点更清晰，从而引导学生回忆刚刚学过的一种用有序数对来表示有向线段的方法“向量”，使引入更加自然。
四、结合向量，化繁为简：
提出问题：我们再来认真观察这个公式的右侧
，把
、
拿出来作为一个有序数对（
，
），你想到了什么？
因为向量是前一节的内容，所以学生很容易想到。如果还有部分学生无法联系起来，可以通过课件展示出α，β终边在单位圆上的交点的坐标，提示找出坐标和夹角的联系。等大部分学生能联系到数量积公式时，把时间还给学生，让学生自己尝试证明。
学生口述，教师板书：在直角坐标系
中，以
轴为始边分别作角
，其终边分别与单位圆交于
,
，则
,
，
，
由数量级的坐标表示,
=
，
由数量积的定义，
=|
||
|
=
所以
=
，
大多数学生在这个问题会犯思维不完善的错误，会把
当做两向量夹角，因为真正的探索过程往往不是一步到位的，我们可以先不去理会其中的细节，抓住主要问题进行探索，然后再做反思，予以完善。
对于任意角
都有
此公式给出了任意角
的正弦、余弦值与其差角
的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为
。有了公式
以后，我们只要知道
、
、
、
的值，就可以求得
的值了。
五、修得正果，口诀速记：
教师引导学生细心观察公式
的结构特征，让学生自己发现公式右边是“两角差的余弦”，右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”，可让学生结合结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“—”右“+”。
口诀：余(弦)余(弦)正(弦)正(弦)异相连。
六、典型例题，学以致用：
例1、回到最初提出的计算日方船只到我方海监船的距离AD。
解：
AD=60
=
海里
思考：sin75°等于多少？
解：当α在第一象限时，
当α在第二象限时，
此处设计让学生上台板演。
例2和例3的设计是逐层递进，把学生容易忽略的问题展现的学生面前，加强印象。
七、举一反三，提高能力
练习：求下列各式的值
（1）
变式：
这里解法不唯一，也可以把前面两个余弦值换成正弦来计算。
（2）
变式：
=
八、课堂小结，知识升华
1. 学到了哪些知识？
①知识：两角差的余弦公式。
②方法：数形结合、向量法。
③应用：两角差的余弦公式的正用、逆用以及解决简单的应用问题。
2.怎么获得这些知识？
提出问题，探索缘由，初步证明，完善结论，熟练应用。
作业：127页课后习题2、3、4
板书设计：
标题
公式
证明过程
例题 |
练习1
练习2
练习3
练习4 |
教学反思：
（1）课堂小结感觉由学生总结比由老师总结效果要好。
（2）对于学生回答的问题评价不够，导致对学生的激励性不
强。下课后还有学生找我说，老师我上你的课回答问题都对了，你都没有表扬我。对于学生，我一贯认为“多肯定比多否定要好的多。”这节课上没有做好。
（3）部分学生的对比分析，归纳总结的能力较弱，尤其是对于公式的变形应用上比较明显，在今后的教学中要注意加强和培养他们这方面的能力。
通过这节课的教学，我受益匪浅，在新课改的浪潮中，不仅要求学生综合能力和综合素质的培养，对老师也提出了更高的要求，作为一名年轻的教师，在今后的教学中我会不断的学习，改进，和学生一起拼搏，一起成长。争取把新课改的工作做得更好。
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