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视频标签：两角差的余弦公式
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视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_甘肃省 - 武威
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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_甘肃省 - 武威
《两角差的余弦公式》教学设计
一、 学情分析
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。
二、 教学内容分析
本节内容是教材必修4第三章《三角恒等变换》第一节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。
过去教材曾用余弦定理证明两角和的余弦公式，虽能对学生进行思维训练，但过程繁琐，不易被学生接受。由于向量工具的引入，新教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。
从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。
基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
2
三、 教学目标
1、知识目标
通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标
使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
四、 教学重点、难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式。 难点：探索过程的组织和适当引导。
五、 教学基本流程
引入问题，提出探究
明确途径，组织和引导学生自主探索 例题、练习讲解，深化公式的理解与运用
小 结 作 业
3
六、 教学过程
(一) 问题引入
我们在初中时就知道 一些特殊角的三角函数值，例如2cos452
，3
cos302
，而)3045cos(15cos，那么大家猜想一下，15cos等于多少呢？是不是等于cos45cos30呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！也就是)cos(一般不等于coscos，下面我们就一起探究两角差的余弦公式。 （设计意图：教科书以一个实际问题（求电视发射塔的高度）作为引子，目的在于提出问题，引入研究课题。同时帮助学生认识到数学与实际生活有关，体会数学的应用价值。解决这个实际应用问题需要用方程的思想分析问题，考虑到我班学生的实际情况，这样做一定程度会抢去这节课主要研究内容的风头。而且，在这个问题中要解决的)45tan(0与这节课要研究的)cos(的联系不够直接。用15cos来引入，一来可以节省时间，二来引出课题更加直接，更加自然。）
(二) 公式探究
第一步，明确探究途径与目的
提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。
如右图，在单位圆中作出角,，它们的终边与单位圆分 别交于A、B两点，先假设π,0,，且，提出以下问题：
（1） 此时的取值范围是多少？ （2） 图中哪个角可以表示？
（3） 可以看作是哪两个向量的夹角？
（问题设计目的：在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，
y
O
x
A
B
α
β
4
提不起向下探究的兴趣。）
第二步，复习相关知识
（1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围）
),(),,(2211yxOByxOA 2121,cosyyxxOBOABOAOBOAO
（2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题）
第三步，推导公式
在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。 证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为 始边作角,，其中π,0,，且，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则 )sin,(cos),sin,(cosOBOA 由向量数量积的坐标表示，有：
sinsincoscos)sin,(cos)sin,(cosOBOA
由π,0,，且知,0，那么向量OBOA,的夹角就是
，由数量积的定义，有
)cos()cos(OBOAOBOA
于是 sinsincoscos)cos( （1） 由于我们前面的推导均是在π,0,，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。事实上，只要,0，所表示的就是向量OBOA,的夹角。（这一点可以结合图形作出说明。）
但是，若,0，（1）式是否依然成立呢？ 当,0时，设OA与OB的夹角为，则
coscosOBOAOBOAsinsincoscos
另一方面，k2，于是,,2Zkk所以
cos
)cos(
5
也有 sinsincoscos)cos(
综上所述，得出公式： 对任意的,，
sinsincoscos)cos(
（说明：公式的推导遵循由浅入深，由特殊到一般，逐层深入的规律，这样安排，能让更多学生参与到探究当中。教材当中对公式给出了两种证明方法，一是几何方法，一是向量方法。几何方法的推导过程较为繁难，教材仅仅对特殊情况作了分析，而向量方法则显得更加直观和简洁。为了让学生体验向量工具的优点，可以布置学生在预习时按照教材的思路采取几何方法进行证明。）
第四步，公式的记忆
让学生自己总结公式的特点，便于记忆。
注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；
2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后； 3.式子中α、β是任意的。
(三) 例题讲解
例1 利用差角余弦公式求15cos。 解：
方法一：
42
630sin45sin30cos45cos)3045cos(15cos 方法二：4
6
245sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos
（设计意图：此题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。拆分的多样性，体现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。） 思考：如何求75sin？
（设计意图：由15cos的值求75sin的值，为后面变换函数种类的思考作出铺垫。）
的值是第三象限角，求：已知例)cos(,13
5
cos),,2(,54sin2
6
解题思路： 求解最后代入公式再求先求)cos(,sin,cos 解：由
,2,54sin，得53sin1cos2
又由,135cos是第三象限角，得13
12
sin1cos2 所以
sinsincoscos)cos(
=653313125413553
（设计意图：此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前
应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。）
思考：如果去掉条件中的
,2，对题目和结果有没有影响？
（设计意图：让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。） 例3 化简求值
xxxxxxsin2
3cos21)4(167cos32sin77cos32cos)3()15sin(sin)15cos(cos)2(105sin15sin105cos15cos)1( （设计意图：此题是对公式的逆用，目的是加强学生对公式的理解与应用。）
例4已知,都是锐角，14
11
)cos(,71cos，求 cos的值。
（设计意图：此题是对公式的活用，由学生讨论解决。此题一般有两种方法可以求解。一种方法是把)cos(分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把
看作)(，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解。这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式。另一种方法是把看做两角差，即)(，这种方法显然计算要简单得多。通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题。）
7
七、 小结
1.两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）。 2.两角差的余弦公式及其特点：
3.利用两角差的余弦公式解决简单的求值和证明问题。
4.三角函数解题的基本要求: 思维的有序性和表述的条理性。 八、 作业
P137第2题，第3题，第13题（1）、（3）、（5） 九、 板书设计
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
